- AB ve BA birbirinden farklı iki basamaklı, CDE üç
basamaklı doğal sayilar olmak üzere,
toplama işlemi verilyor.
Birbirinden farklı C, D ve E rakamları için
C+D+E = 12
olduğuna göre, kaç farklı AB sayısı yazılabilir?
A)1
B) 2
c)3
D)4
AB ve BA İki Basamaklı Sayılarının Toplamı ve CDE Üç Basamaklı Sayısı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
İki basamaklı sayıların çözümlenmesi:
AB = 10A + B
BA = 10B + A
Toplama işlemi:
AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A + B)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Çözümlenmesi ve Toplamın İfadesi
Soruda AB + BA = CDE olduğu verilmiştir. Bu toplamı çözümlediğimizde:
11(A + B) = CDE elde edilir.
Bu durum, CDE sayısının 11’in bir katı olması gerektiğini gösterir.
Adım 2 — A + B Değerinin Sınırlarını Belirleme
A ve B birer rakam ve AB ile BA iki basamaklı sayılar olduğu için A, B \in \{1, 2, ..., 9\} olmalıdır.
Ayrıca AB \neq BA denildiği için A \neq B olmalıdır.
İki rakamın toplamı en fazla 9+8=17 olabilir.
CDE üç basamaklı bir sayı olduğuna göre 11(A+B) \geq 100 olmalıdır.
Bu durumda A+B toplamı 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 değerlerini alabilir.
Adım 3 — CDE Sayılarını ve C+D+E Koşulunu İnceleme
11 \times (A+B) = CDE çarpımlarını ve rakamları toplamını (C+D+E=12) kontrol edelim:
- A+B = 10 \Rightarrow 11 \times 10 = 110. Rakamlar toplamı: 1+1+0 = 2 \neq 12
- A+B = 11 \Rightarrow 11 \times 11 = 121. Rakamlar toplamı: 1+2+1 = 4 \neq 12
- A+B = 12 \Rightarrow 11 \times 12 = 132. Rakamlar toplamı: 1+3+2 = 6 \neq 12
- A+B = 13 \Rightarrow 11 \times 13 = 143. Rakamlar toplamı: 1+4+3 = 8 \neq 12
- A+B = 14 \Rightarrow 11 \times 14 = 154. Rakamlar toplamı: 1+5+4 = 10 \neq 12
- A+B = 15 \Rightarrow 11 \times 15 = 165. Rakamlar toplamı: 1+6+5 = 12
(Şartı sağlar: C=1, D=6, E=5 hepsi birbirinden farklıdır.) - A+B = 16 \Rightarrow 11 \times 16 = 176. Rakamlar toplamı: 1+7+6 = 14 \neq 12
- A+B = 17 \Rightarrow 11 \times 17 = 187. Rakamlar toplamı: 1+8+7 = 16 \neq 12
Adım 4 — Mümkün Olan AB Sayılarını Bulma
Şartı sağlayan tek toplam A + B = 15’tir.
A \neq B ve A, B \leq 9 koşuluna uygun ikililer:
- A=6, B=9 \Rightarrow AB = 69
- A=9, B=6 \Rightarrow AB = 96
- A=7, B=8 \Rightarrow AB = 78
- A=8, B=7 \Rightarrow AB = 87
Toplamda 4 farklı AB sayısı yazılabilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çözümleme
- Tanım: Bir sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır.
- Bu problemde: AB ve BA sayılarının toplamının 11’in katı olduğunu anlamamızı sağlamıştır.
2. Rakam Koşulları
- Tanım: Problemin başında verilen “farklı rakamlar” veya “iki basamaklı sayılar” ibaresi değişkenlerin sınırlarını belirler.
- Bu problemde: C, D, E rakamlarının birbirinden farklı olması ve A+B=15 toplamının rakam sınırlarını aşmaması kontrol edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıları Çözümlememek
- Yanlış: Tahmin yürüterek AB sayılarını tek tek denemek.
- Doğru: Önce genel denklemi (11(A+B)) kurup sonra kısıtlı seçenekleri denemek.
- Neden yanlış: Çok zaman kaybına ve eksik sonuç bulmaya neden olur.
Bu problemin çözümünde A+B toplamının neden sadece 15 olabildiğini netleştirdik mi, yoksa alternatif toplamlar için tekrar bakmamı ister misin?