Baş katsayısı 1 olan gerçel katsayılı üçüncü dereceden P(x) polinomunun katsayıları toplamı negatiftir

Question Answer
1

Baş katsayısı 1 olan gerçel katsayılı üçüncü dereceden P(x) polinomunun katsayıları toplamı negatiftir.
P(x) polinomunun sıfırlarının kümesi
\{-2, 3\}
olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
A) -18\(B)-12 $ C)-6 D)12 E)18)

Baş katsayısı 1 olan gerçel katsayılı üçüncü dereceden P(x) polinomunun katsayıları...
Baş katsayısı 1 olan gerçel katsayılı üçüncü dereceden P(x) polinomunun katsayıları...1024×768 100 KB

2

Üçüncü Dereceden Polinomun Sabit Terimini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir polinomun katsayılar toplamı P(1), sabit terimi ise P(0) değeri ile bulunur.
  • Üçüncü dereceden bir polinomun kökler kümesi iki elemanlı ise köklerden biri çift katlıdır (2. mertebeden kök):
    P(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2) \quad \text{veya} \quad P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Polinomun Olası Durumlarını Belirleme
P(x) polinomunun baş katsayısı 1, derecesi 3 ve sıfırlarının (köklerinin) kümesi \{-2, 3\} olarak verilmiştir. Kök kümesi 2 elemanlı olduğundan, köklerden biri tek katlı, diğeri çift katlı olmalıdır. Bu durumda iki farklı durum söz konusudur:

  • 1. Durum: P(x) = (x + 2)^2(x - 3)
  • 2. Durum: P(x) = (x + 2)(x - 3)^2

Adım 2 — Katsayılar Toplamı Koşulunu İnceleme
Soruda katsayılar toplamının negatif olduğu, yani P(1) < 0 olduğu belirtilmiştir. Her iki durumu test edelim:

  • 1. Durum için:

    P(1) = (1 + 2)^2 \cdot (1 - 3) = 3^2 \cdot (-2) = 9 \cdot (-2) = -18 < 0 \quad \text{(Koşulu sağlar)}

  • 2. Durum için:

    P(1) = (1 + 2) \cdot (1 - 3)^2 = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12 > 0 \quad \text{(Koşulu sağlamaz)}

Dolayısıyla aradığımız polinom:

P(x) = (x + 2)^2(x - 3)

Adım 3 — Sabit Terimi Hesaplama
Polinomun sabit terimini bulmak için x = 0 değerini yazalım:

P(0) = (0 + 2)^2 \cdot (0 - 3)
P(0) = 2^2 \cdot (-3) = 4 \cdot (-3) = -12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) -12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Kökün Katlılığı (Multiplicity): n. dereceden bir polinomun en fazla n tane kökü vardır. Kök kümesinin eleman sayısı polinomun derecesinden azsa, en az bir kök katlı (çift veya çoklu) köktür.
  • Katsayılar Toplamı ve Sabit Terim: Bir P(x) polinomunda x=1 yazıldığında katsayılar toplamı, x=0 yazıldığında sabit terim elde edilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Katsayılar toplamı P(1) = -18 çıktığı için sabit terimi de -18 sanarak doğrudan A seçeneğini işaretlemek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: P(1) değerini yalnızca doğru polinom denklemini seçmek için kullanmak; sabit terim için mutlaka x = 0 yazarak P(0) değerini hesaplamak.

Polinomlarda kök-katsayı ilişkileri veya grafik yorumu ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?