!20260110_103121|375x500 [Link Silindi]
Bahçenin kısa kenarının uzunluğu metre cinsinden aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Önemli Noktalar:
- Bahçenin alanı 400\ \text{m}^2
- Kısa kenar s ile uzun kenar l asal sayılardır (\gcd(s,l)=1)
- Seçenekler: 4,\;5,\;8,\;16\ \text{m}
Doğru seçenek: 16 m
Kısa kenar s=16 alındığında, l=400/16=25 olur ve \gcd(16,25)=1 sağlar.
İçindekiler
Derinlemesine Çözüm
Alan bağıntısı:
s \times l = 400
Burada s kısa kenar, l uzun kenar. s ve l asal sayı (yani aralarında EBOB 1) olduğuna göre, aşağıdaki adımları izleriz:
- Seçenekleri s olarak alıp l=400/s hesaplanır.
- l tam sayı değilse elenir.
- \gcd(s,l)=1 ise tercih edilir.
| Seçenek | s (m) | l=400/s (m) | EBOB$(s,l)$ |
|---|---|---|---|
| A | 4 | 100 | 4 |
| B | 5 | 80 | 5 |
| C | 8 | 50 | 2 |
| D | 16 | 25 | 1 |
Yalnız D şıkkı aranan şartı sağlar.
Özet Tablosu
| Kısa Kenar s (m) | Uzun Kenar l (m) | EBOB$(s,l)$ |
|---|---|---|
| 16 | 25 | 1 |
SSS
- S: EBOB nedir?
C: En büyük ortak bölen; iki sayının her ikisini de bölen en büyük sayıdır. - S: Neden s=5 olamaz?
C: Çünkü l=400/5=80 ve EBOB$(5,80)=5\neq1$. - S: Alanın asal çarpanları nasıl bulunur?
C: 400’ü önce asal sayılarına ayrıştırıp (örneğin 2^4\cdot5^2) seçeneklerle karşılaştırırsınız. - S: Başka bir asal çarpan çifti var mı?
C: 400’ün asal çarpanlarından elde edilebilecek asal çarpan çifti yalnızca $(16,25)$’tir.
Devamında benzer 3 alıştırma sorusu ister misiniz? @Adil
Alanı 400 m² Olan Dikdörtgenin Kısa Kenar Uzunluğu Ne Olabilir?
Önemli Noktalar
- Dikdörtgen bahçenin alanı 400 m²
- Uzun kenar ile kısa kenar arasındaki uzunluklar asal sayı olmalı
- Asal sayılar, yalnızca kendisine ve 1’e bölünebilen pozitif tam sayılardır
- Alan = Uzun Kenar × Kısa Kenar eşitliğinden hareketle, kenar uzunlukları birbirinin tam çarpanlarıdır
Alan 400 m² olan dikdörtgen için kısa ve uzun kenarların çarpımı 400’tür. Uzun ve kısa kenarların uzunluklarının asal sayılar olması gerektiğinden, 400 sayısının bölenleri arasında asal veya asal çarpan çiftlerini incelememiz gerekir.
İçindekiler
- Problemin Analizi
- Asal Sayılar ve Alan İlişkisi
- Doğru Seçeneğin Belirlenmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Analizi
Bahçenin alanı:
\text{Alan} = \text{Uzun Kenar} \times \text{Kısa Kenar} = 400
Kısa kenarın değerleri seçeneklerde verilmiştir: 4, 5, 8, 16. Uzun kenar ile kısa kenar asal sayı oldukları için bu iki kenar uzunluğu arasında asal ilişki olmalıdır.
Burada, “asal” ifadesi matematikte yaygın olarak “only divisible by 1 and itself” anlamına gelir. Fakat burada soru aslında “uzun kenar ile kısa kenarın uzunlukları aralarında asal sayı” diyor; yani bu iki sayı aralarında asal (yani ortak böleni 1 olan) olmalıdır.
Bu durumda, uzun kenar ve kısa kenar sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) 1 olmalıdır.
Asal Sayılar ve Alan İlişkisi
Alan = uzun kenar × kısa kenar = 400
Kısa kenar uzunluğu verildiğinde uzun kenar:
\frac{400}{\text{kısa kenar}}
Bu durumda, uzun kenar ve kısa kenarın EBOB’unun 1 olması gerekir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
-
A) 4
Uzun kenar = 400 / 4 = 100
EBOB(4, 100) = 4 (çünkü 4 ve 100 her ikisinde de 2^2 ortak) → EBOB ≠ 1 → Uygun değil -
B) 5
Uzun kenar = 400 / 5 = 80
EBOB(5, 80) = 1 (çünkü 5 asal ve 80’in çarpanlarına 5 dahil olsa da, 80=2^4*5, ama 5 var; aslında 5 ortak)
Düzeltme: EBOB(5, 80) = 5 → başlangıçta hata var. Çünkü 80 = 2^4 × 5, 5 ortak faktör. O halde EBOB ≠ 1 → Uygun değil -
C) 8
Uzun kenar = 400 / 8 = 50
EBOB(8, 50) = 2 (8=2^3, 50=2*5^2, ortak asal 2) → Uygun değil -
D) 16
Uzun kenar = 400 / 16 = 25
EBOB(16, 25) = 1 (16=2^4, 25=5^2, ortak bölen yok) → EBOB=1 → Uygun
Yani sadece D şıkkı 16 kısa kenar için uzun kenar ile aralarında asal uzunluk verir.
Doğru Seçeneğin Belirlenmesi
Bahçenin kısa kenar uzunluğu metre cinsinden aşağıdakilerden hangisi olabilir?
→ D şıkkı: 16
Uzun kenar 25 m olur, aralarında asal uzunluklar vardır.
Başka seçeneklerin hiçbiri uzun kenar ile aralarında asal olmaz.
Uzman İpucu: İki sayının aralarında asal olması, ortak bölenlerinin sadece 1 olması anlamına gelir. Bu koşulu alan ve kenar ilişkilerine uygulamak, uygun kenar uzunluklarını bulmada kullanılır.
Özet Tablo
| Seçenek | Kısa Kenar | Uzun Kenar (400/ Kısa Kenar) | EBOB | Aralarında Asal mı? |
|---|---|---|---|---|
| A | 4 | 100 | 4 | Hayır |
| B | 5 | 80 | 5 | Hayır |
| C | 8 | 50 | 2 | Hayır |
| D | 16 | 25 | 1 | Evet |
Sık Sorulan Sorular
1. Aralarında asal sayılar nedir?
İki sayı, sadece 1 ortak bölenleri varsa aralarında asaldır. Örneğin 16 ve 25’in ortak böleni sadece 1’dir.
2. Neden aralarında asal olmaları gerekiyor?
Soru “uzun kenar ile kısa kenarın uzunlukları aralarında asal” diyor, yani ortak en büyük bölenin 1 olması gerekliliği var.
3. Alanı sabit olan dikdörtgende kenarlar nasıl seçilir?
Alan = uzun kenar × kısa kenar olduğu için, seçilen kısa kenarın alanı tam bölmesi uzun kenarın tam sayı olmasını sağlar.
Sonraki Adımlar
Başka sayılar için aralarında asal olup olmadıklarını anlamak üzere bir hızlı EBOB hesaplama yöntemi öğrenmek ister misiniz?