Bağlantı noktalarından uçlarına kadar olan kısımları mavi ve gri renkte olan özdeş iki makastan biri kapalı ve yere dik olarak, diğeri ise 120^irc açılarak duvara şekildeki gibi asılmıştır.
Bu makasların mavi kısımlarının uzunluğu 9 birim olup her iki makasın mavi uçlarının yerden yükseklikleri eşit, açık makasın gri uçlarının yerden yükseklikleri ise kapalı makasın gri uçlarının yerden yüksekliklerinden 13 birim fazladır.
Buna göre, makasın bağlantı noktasının bir gri uca olan uzaklığı kaç birimdir?
2022 TYT — Makasların Yükseklik ve Uzunluk Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Doğrusal parçaların simetri ekseniyle yaptığı açıda dik üçgen trigonometrisi:\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
- Düşey mesafe formülü: \text{Düşey Uzaklık} = L \cdot \cos(\alpha)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Simetri Ekseni ve Açıların Belirlenmesi
Açık makasın kolları arasındaki açı 120^\circ olarak verilmiştir. Makas duvara simetrik asıldığından düşey eksen bu açıyı iki eşit parçaya böler:
\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
Dolayısıyla hem mavi kolların hem de gri kolların düşey eksenle yaptığı açı 60^\circ’dir.
Adım 2 — Bağlantı Noktalarının (Pivot) Konumlarının Hesaplanması
Mavi uçların yerden yüksekliği eşit olup bu yüksekliğe referans olarak H diyelim:
- Kapalı makasta: Mavi kısım düşey konumdadır ve uzunluğu 9\text{ birim} olduğundan bağlantı noktasının yerden yüksekliği:h_{\text{kapalı, pivot}} = H - 9
- Açık makasta: 9\text{ birim} uzunluğundaki mavi kol düşeyle 60^\circ açı yapar. Bu kolun düşey izdüşümü:9 \cdot \cos(60^\circ) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4{,}5\text{ birim}Dolayısıyla açık makasın bağlantı noktasının yerden yüksekliği:h_{\text{açık, pivot}} = H - 4{,}5
Buradan açık makasın bağlantı noktasının, kapalı makasın bağlantı noktasından 4{,}5\text{ birim} daha yukarıda olduğu görülür:
(H - 4{,}5) - (H - 9) = 4{,}5\text{ birim}
Adım 3 — Gri Uçların Yükseklik Farkından x Değerinin Bulunması
Makasın bağlantı noktasından bir gri uca kadar olan uzunluğuna x diyelim:
- Kapalı makasın gri ucunun yüksekliği:h_1 = (H - 9) - x
- Açık makasın gri ucunun yüksekliği:h_2 = (H - 4{,}5) - x \cdot \cos(60^\circ) = (H - 4{,}5) - \frac{x}{2}
Soruda açık makasın gri ucunun kapalı makasa göre 13\text{ birim} daha yüksekte olduğu belirtilmiştir:
h_2 - h_1 = 13
\left[(H - 4{,}5) - \frac{x}{2}\right] - \left[(H - 9) - x\right] = 13
4{,}5 + \frac{x}{2} = 13
\frac{x}{2} = 8{,}5 \implies x = 17\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 17\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Düşey İzdüşüm: Bir doğru parçasının düşey eksenle yaptığı \alpha açısında düşey uzunluk daima \text{Boy} \times \cos(\alpha) bağıntısıyla bulunur.
- 30^\circ-60^\circ-90^\circ Üçgeni: 90^\circ’nin karşısı hipotenüs (x) iken, 60^\circ’nin komşusu (düşey kenar) daima \frac{x}{2} olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yalnızca gri uçların açılmasından kaynaklanan kısalmayı (x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}) doğrudan 13’e eşitleyip x = 26 bulmak.- Doğru Yaklaşım: Mavi kollar da açıldığı için açık makasın orta bağlantı noktasının (pivot) da 4{,}5\text{ birim} yukarı kaydığını hesaba katmak.
Benzer bir ÖSYM tarzı trigonometri/geometri pekiştirme sorusu çözmek ister misin?