BA2
(22 LBI
2(36F22 güzel bir şekilde anlatın lütfen
54122
Köklü İfadelerde Çarpma ve Dağılma Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Çarpmanın toplama/çıkarma üzerine dağılma özelliği:
(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d
- Köklü sayılarda çarpma kuralı:
\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} \quad \text{ve} \quad \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x
ÇÖZÜM ADIMLARI:
1. Soru: (3\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2} + 4\sqrt{3})
Adım 1 — Parantezleri Dağıtma
Birinci parantezdeki her terimi, ikinci parantezdeki her terimle sırayla çarpalım:
(3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{3}) - (\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2}) - (\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3})
Adım 2 — Katsayıları ve Kökleri Kendi Arasında Çarpma
- (3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 6 \cdot 2 = 12
- (3\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{3}) = 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 12\sqrt{6}
- -(\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{2}) = -2\sqrt{3 \cdot 2} = -2\sqrt{6}
- -(\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) = -4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = -4 \cdot 3 = -12
Adım 3 — Benzer Terimleri Toplama
12 + 12\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 12 = (12 - 12) + (12\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 10\sqrt{6}
2. Soru: (\sqrt{10} - \sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{10} + 2\sqrt{2})
Adım 1 — Parantezleri Dağıtma
(\sqrt{10}) \cdot (3\sqrt{10}) + (\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{2}) - (\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{10}) - (\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2})
Adım 2 — Çarpımları Hesaplama
- (\sqrt{10}) \cdot (3\sqrt{10}) = 3 \cdot 10 = 30
- (\sqrt{10}) \cdot (2\sqrt{2}) = 2\sqrt{20}
- -(\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{10}) = -3\sqrt{20}
- -(\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = -2 \cdot 2 = -4
Adım 3 — Kök Dışına Çıkarma ve Sadeleştirme
Tam sayıları toplayalım: 30 - 4 = 26
Köklü terimleri birleştirelim: 2\sqrt{20} - 3\sqrt{20} = -\sqrt{20}
\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} olduğundan:
26 - 2\sqrt{5}
3. Soru: (2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5} + 2\sqrt{2})
Adım 1 — Parantezleri Dağıtma
(2\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) + (2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{2}) - (3\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}) - (3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2})
Adım 2 — Çarpımları Hesaplama
- (2\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) = 2 \cdot 5 = 10
- (2\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{10}
- -(3\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}) = -3\sqrt{10}
- -(3\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = -3 \cdot 2 \cdot 2 = -12
Adım 3 — Benzer Terimleri Toplama
(10 - 12) + (4\sqrt{10} - 3\sqrt{10}) = -2 + \sqrt{10} \quad \text{veya} \quad \sqrt{10} - 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- 10\sqrt{6}
- 26 - 2\sqrt{5}
- \sqrt{10} - 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Benzer Köklü İfadeler: Kök derecesi ve kök içi aynı olan ifadeler kendi arasında toplanıp çıkarılabilir (Örn: 12\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 10\sqrt{6}).
- Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki tam kare çarpanlar kök dışına çıkarılır (Örn: \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} bulup işlemi öylece bırakmak veya katsayıları kök içine katmadan çarpmayı unutmak.- Doğru Mantık: Aynı kökün kendisiyle çarpımının doğrudan kök içindeki sayıya eşit olduğunu bilmek (\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a) işlem hızını ve doğruluğunu artırır.
Bu kuralları pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmek ister misin?