B B AYT/MAT 9. Bir polinomun (– 3)° ile bölümünden

YKS TYT
1

B B AYT/MAT 9. Bir polinomun (– 3)° ile bölümünden kalan, 3x²- 16x +7 olduğuna göre (x – 3)² ile bö(ümünden kalah aşağıdakilerden hangisidir? A) -2x + 10 B) 2x + 10 B 4x X-5 C) 2x - 20 E) -2x – 20 3

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: QUESTION: Bir polinomun (x-3)^3 ile bölümünden kalan 3x^2 - 16x + 7 olduğuna göre, (x-3)^2 ile bölümünden kalan nedir?

:light_bulb: RULE / FORMULA USED:

  • Bir polinomun (x - a)^n ile bölümünden kalan polinomun derecesi n’den küçüktür.
  • (x - a)^3 ile kalanı 3x^2 - 16x + 7 iken, (x - a)^2 ile bölümünden kalan derecesi en fazla 1 olacaktır (birinci derece polinom).
  • Kalanın (x - 3)^2 ile ilişkisini bulmak için kalan polinomunu x = 3 ve türevini kullanırız.

:brain: SOLUTION STEPS:

Step 1 — Tanımlar ve Bilgiler

  • Polinomun (x-3)^3 ile bölümünden kalan: 3x^2 - 16x + 7 (derece 2).
  • İstenen: (x-3)^2 ile bölümden kalan polinom (en fazla 1. dereceden).

Kalanı R_1(x) = Ax + B olarak yazalım (burada A, B bilinmeyen).

Step 2 — Kalan İlişkisi ve Değerlendirme Noktası

  • (x-3)^3 ile kalandan (x-3)^2 ile kalan bulunurken, R_1(x), R(x) = 3x^2 -16x + 7 polinomunun (x-3)^2 bölümüyle kalanıdır.
  • R(x) polinomunun derecesi 2, R_1(x) ise en fazla 1. derece.

Step 3 — Polinom ve Türev ile Kalan Bulma

  • (x-3)^2 ile bölümünden kalan R_1(x) aşağıdaki şartları sağlamalıdır:

    R(3) = R_1(3)

    ve

    R'(3) = R_1'(3)

Çünkü (x-3)^2 bölümü kalanın değerini ve türevini eşitleme gerektirir.

Step 4 — Değerleri Hesaplama

  • R(3) = 3(3)^2 - 16(3) + 7 = 3 \times 9 - 48 +7 = 27 -48 +7 = -14
  • R'(x) = 6x -16
  • R'(3) = 6(3) -16 = 18 -16 = 2

Step 5 — R_1(x) = A x + B için eşitlikleri kurma:

R_1(3) = 3A + B = R(3) = -14
R_1'(x) = A \Rightarrow R_1'(3) = A = R'(3) = 2

Step 6 — A, B çözümü:

A = 2
3 \times 2 + B = -14 \Rightarrow 6 + B = -14 \Rightarrow B = -20

Step 7 — Son kalan polinom:

R_1(x) = 2x - 20

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: ANSWER: C) 2x - 20

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:bullseye: KEY CONCEPTS:

  1. Polinom bölme kalanı
  • Bir polinomun (x - a)^n ile bölümünden kalan, polinomun bu dereceden daha düşük dereceden bir polinomdur.
  1. Kalan polinomun belirlenmesi
  • (x - a)^k ile kalan polinomun katsayılarını belirlemek için kalan polinom ve türevinin değeri, verilen yüksek dereceli kalanın karşılık noktadaki değer ve türev değerine eşitlenir.

Feel free to ask if you have more questions! :rocket:

3

QUESTION: Bir polinomun (x-3)^3 ile bölümünden kalan 3x^{2}-16x+7 olduğuna göre (x-3)^2 ile bölümünden kalan hangisidir?

:brain: SOLUTION STEPS:

Step 1 — Analyze Option A
Seçenek A: -2x+10. Remainder farkı p(x)=r(x)-s(x)= (3x^{2}-16x+7) - (-2x+10).
Hemen x=3 için kontrol edelim: r(3)=3\cdot9-16\cdot3+7=27-48+7=-14.
s_A(3)=-2\cdot3+10=4.
p(3)=-14-4=-18\neq0 → (x-3)^2 ile bölünemez. INCORRECT

Step 2 — Analyze Option B
Seçenek B: 2x+10. s_B(3)=2\cdot3+10=16.
p(3)=-14-16=-30\neq0 → INCORRECT

Step 3 — Analyze Option C
Seçenek C: 2x-20. s_C(3)=2\cdot3-20=6-20=-14.
p(3)=-14-(-14)=0 — iyi. Şimdi türevle kontrol: r'(x)=6x-16 dolayısıyla r'(3)=6\cdot3-16=18-16=2.
s'_C(x)=2 ⇒ s'_C(3)=2.
p'(3)=r'(3)-s'_C(3)=2-2=0. Hem p(3)=0 hem p'(3)=0 olduğundan p(x) bir katı olarak (x-3)^2 ile bölünür. POTENTIALLY CORRECT

Step 4 — Analyze Option D ve E
Seçenek D: 4x-5. s_D(3)=12-5=7. p(3)=-14-7=-21\neq0 → INCORRECT
Seçenek E: -2x-20. s_E(3)=-6-20=-26. p(3)=-14-(-26)=12\neq0 → INCORRECT

Step 5 — Option Comparison
:white_check_mark: C. 2x-20 — Sağlar: r(3)=s(3) ve r'(3)=s'(3), yani farkı (x-3)^2 ile bölünür.
:cross_mark: A. -2x+10 — p(3)\neq0
:cross_mark: B. 2x+10 — p(3)\neq0
:cross_mark: D. 4x-5 — p(3)\neq0
:cross_mark: E. -2x-20 — p(3)\neq0

Step 6 — Final Verification
Bir polinomun (x-3)^2 ile bölünebilmesi için fark polinomunun hem x=3 de kendisi hem türevinin 0 olması gerekir. Sadece 2x-20 bu koşulları sağlar, dolayısıyla (x-3)^2 ile bölümünden kalan 2x-20’dir.

:white_check_mark: ANSWER: C) 2x - 20

Feel free to ask if you have more questions! :rocket: