Azra tokalarını, yan yana dizdiği n tané kutunun i

YKS TYT
1

Azra tokalarını, yan yana dizdiği n tané kutunun içine koyuyor. X 1. kutunun içine 1 tane toka koyuyor ve daha sonra her kutuya, bir önceki kutuya koyduğu toka sayıSinin 2 tane fazlası kadar toka koyuyor. Azra, yukarıdaki kurala göre kutulara tokalarinı yerleştirdiğinde baştan x. kutuya koyması gereken kadar tokası kalmadiğını fark ediyor ve elinde kalan son 5 tane tokayI X. kutunun içine koyuyor. Azra’nın tokalarınin sayısI; içinde toka bulunan kutu sayISinin 3 katindan 20 tane fazla, içinde toka bulunmayan kutularıin sayisinin 3 katından 2 tane fazladır. Buna göre, Azra kutuların içine birer tane toka koysaydı kaç tane daha kutuya ihtiyaç duyardı? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

!Resim [Link Silindi]

2

Azra Tokalarını Kutulara Yerleştirme Sorunu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Kutulara koyulan toka sayıları aritmetik dizi oluşturur: 1, 3, 5, …, (2k-1) (k. kutu için).
  • x=7 kutuya kadar tam doldurur, x. kutuya 5 toka kalır; toplam toka T=41.
  • Toplam kutu sayısı n=20 (tokalı 7, tokasız 13).
  • Birer toka koyarak tüm tokaları yerleştirmek için 41 kutu gerekir; mevcut 20 kutu için 21 tane daha kutu lazım.

Azra’nın toplam toka sayısı T=41’dir. Eğer her kutuya birer toka koyarak tüm tokaları yerleştirseydi, 20 kutusu için 21 kutu daha ihtiyacı olurdu (41-20=21). Doğru cevap: B) 21.

İçindekiler

  1. Problem Analizi
  2. Toka Sayılarının Matematiksel Modeli
  3. Denklem Çözümü
  4. Karşılaştırma Tablosu: Orijinal vs Birer Toka
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Problem Analizi

Azra, n kutuya tokalarını şu kurala göre koyar:

  • 1. kutu: 1 toka
  • Her sonraki kutu: Bir önceki kutudan 2 fazla toka.

Yani k. kutuya: a_k = 2k - 1 toka (tek sayılar dizisi).

x. kutuya tam dolduracak tokası kalmaz; kalan 5 tokayı x. kutusuna koyar.

  • 1’den (x-1)'e kadar kutular tam dolar: Toplam S_{x-1} = (x-1)^2 (ilk m tek sayının toplamı m²’dir).
  • Kalan: 5 toka → T = (x-1)^2 + 5.

Ek koşul:
T, tokalı kutu sayısının (x) 3 katından 20 fazla: T = 3x + 20.
T, tokasız kutu sayısının (n - x) 3 katından 2 fazla: T = 3(n - x) + 2.

Soru: Tüm tokaları birer tane koyarak yerleştirse, kaç kutu daha lazım? (n=20 kutu var.)

:light_bulb: Pro İpucu: Tek sayılar toplamını ezberleyin: İlk m tek sayı → m². Bu, problemin anahtarı!

Toka Sayılarının Matematiksel Modeli

Dizi: 1, 3, 5, …, (2x-1).
x=7 için örnek:

  • Kutular 1-6: 1+3+5+7+9+11 = 36 (=6²).
    1. kutuya: 5 kalır (normalde 13 olmalı).
  • T=41.

Koşullardan:
3x + 20 = 3(n-x) + 2

3x + 20 = 3n - 3x + 2
6x = 3n - 18
n = 2x + 6

T denkliği:

(x-1)^2 + 5 = 3x + 20
(x-1)^2 = 3x + 15
x^2 - 2x + 1 = 3x + 15
x^2 - 5x - 14 = 0

Çözüm:
Discriminant: $$25 + 56 = 81 = 9^2$$
$$x = \frac{5 \pm 9}{2}$$ → x=7 (x=-2 geçersiz).

n=2(7)+6=20, T=3(7)+20=41. Doğrulama: 6²+5=41.

:warning: Uyarı: x=7’de 7. kutuya normalde 13 toka giderdi (2*7-1=13), ama sadece 5 koydu → Kalan yetmediğini gösterir.

Sonuç ve Birer Toka Senaryosu

T=41 toka ile birer toka koyulsa:

  • 41 kutu lazım (her kutuya 1).
  • Mevcut: 20 kutu.
  • İhtiyaç: 41 - 20 = 21 daha kutu.

Gerçek hayatta pratik: Sınavda aritmetik dizi toplamını hızlı hesaplayın: m² kuralı zaman kazandırır.

Denklem doğrulama tablosu (x=7):

Kutusal Normal Toka Gerçekte Toplam
1-6 36 36 36
7 13 5 41

:clipboard: Hızlı Kontrol: n=20, tokalı=7, tokasız=13. T=37+20=41; 313+2=41. Uyumlu!

Karşılaştırma Tablosu: Orijinal vs Birer Toka

Özellik Orijinal Kural (1,3,5,…) Birer Toka (1,1,1,…)
Toplam Toka (T) 41 41
Kullanılan Kutu 7 (tam 6 + kısmi 1) 41
Mevcut Kutu (n) 20 20
İhtiyaç - +21 kutu
Verimlilik Yüksek (36/6 kutu) Düşük (1/kutu)
Toplam Formül (x-1)² + 5 T

Fark: Orijinalde az kutuyla çok toka; birer tokada tüm tokalar için fazla kutu lazım.

Özet Tablo

Unsur Değer Açıklama
x 7 Tokalı kutu
n 20 Toplam kutu
T 41 Toplam toka
Sum 1-(x-1) 36 6²
Kalan 5 x. kutuya
Birer toka 41 Kutu ihtiyacı
Daha fazla 21 41-20
Cevap B 21

Sık Sorulan Sorular

1. Neden x=7’de 7. kutuya 13 değil 5 koydu?
Normalde 7. kutu 2*7-1=13 isterdi, ama tam yetmedi; kalan 5’i koydu. Bu, T’nin tam sum’dan az olduğunu gösterir.

2. Tek sayılar toplamı neden m²?
Geometrik kanıt: m x m kare, her satır bir tek sayı toplamı. Örnek: 1+3+5=9=3².

3. n=2x+6 nereden geldi?
İki T ifadesinden: 3x+20=3(n-x)+2 → sadeleştirme ile elde edilir.

4. Birer tokada neden 21?
T=41 toka, her kutuya 1 → 41 kutu lazım. n=20 var → 21 eksik.

5. Soruda resim neyi gösteriyor?
Muhtemelen kutu dizisini (1’den n’ye), x işaretli. Metin yeterli.

Sonraki Adımlar

Bu problemi pekiştirmek için benzer bir problem çözelim mi (örneğin common difference 3 olsa)? Ya da YKS TYT aritmetik dizi quiz’i hazırlayayım mı?

@Mr.Yasin

3

Azra tokalarını, yan yana dizdiği n tane kutunun içine koyuyor — soru tekrarı

Önemli Noktalar

  • İlk kutuya 1 toka, sonraki her kutuya bir öncekinin 2 fazlası konuyor; k. kutusuna konan miktar 2k−1’dir.
  • Azra, x. kutuya tam koyacak tokası olmadığını görünce kalan son 5 tokayı x. kutuya koyuyor; toplam toka sayısı T = (x−1)^2 + 5.
  • Verilen koşullar: T = 3x + 20 ve T = 3(n−x) + 2, bunlardan n = 2x + 6 bulunur.

Azra’nın kutu sayısı n = 20, toplam toka sayısı T = 41 olduğundan; eğer her kutuya 1 toka koysaydı 41 kutuya ihtiyaç olurdu. Mevcut kutu sayısı 20 olduğuna göre 21 tane daha kutuya ihtiyaç duyardı — cevap: B) 21. Aşağıda adım adım ispatı var.

İçindekiler

  1. Problem Özeti ve Denklemler
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problem Özeti ve Denklemler

  • Dizi: 1, 3, 5, 7, … yani k. kutuya konan toka = 2k−1.
  • x. kutuya gelince yeterli toka yok; kalan 5 tokayı x. kutuya koyuyor.
  • Dolayısıyla toplam toka sayısı:
    • T = sum_{k=1}^{x−1} (2k−1) + 5 = (x−1)^2 + 5.
  • Ayrıca soruda verilen iki koşul (kutuda toka olan kutu sayısı = x, olmayan = n−x) ile:
    • T = 3x + 20
    • T = 3(n−x) + 2

:light_bulb: Pro Tip: İlk m tek sayının toplamının m^2 ettiğini bilmek bu tür soruları büyük ölçüde basitleştirir.

Adım Adım Çözüm

  1. İki ifade eşitlenir:
    (x−1)^2 + 5 = 3x + 20
    → (x−1)^2 = 3x + 15
    → x^2 − 2x + 1 = 3x + 15
    → x^2 − 5x − 14 = 0

  2. Denklemi çöz:
    Delta = 25 + 56 = 81, √Delta = 9
    x = (5 ± 9)/2 → x = 7 (pozitif kök)

  3. n’i bul:
    n = 2x + 6 = 2·7 + 6 = 20

  4. Toplam toka sayısı:
    T = (x−1)^2 + 5 = 6^2 + 5 = 41 (ayrıca 3x+20 = 21+20 = 41)

  5. Eğer her kutuya 1 toka koysaydı ihtiyaç duyulan kutu sayısı = 41. Mevcut kutu sayısı = 20.
    Ek gerekli kutu sayısı = 41 − 20 = 21.

:warning: Uyarı: x negatif veya tam sayı olmayan çözümler fiziksel anlam taşımaz; burada x = 7 tam ve mantıklıdır.

Karşılaştırma Tablosu

Aspect Orijinal (artışlı) Her kutuya 1 toka
Bir kutuya konan maksimum hedef 2k−1 (k.'ya göre artar) 1 sabit
Kaçıncı kutuda toka bitiyor x = 7 (x. kutuda 5 kalan) Tüm tokalar 1’er konursa 41 kutu gerekir
Mevcut toplam kutu n 20 Gerekli: 41
Ek kutu ihtiyacı — 21

Özet Tablo

Element Detay
x 7
n 20
Toplam toka T 41
Ek kutu gerektiğinde 21
Doğru seçenek B) 21

Sık Sorulan Sorular

1. Neden (x−1)^2 kullanıldı?
İlk m tek sayının toplamı m^2 olduğu için, 1’den x−1’e kadar olan tek sayıların toplamı (x−1)^2 eder.

2. x değeri neden 7 çıktı?
Çünkü denklemi (x−1)^2 + 5 = 3x + 20 çözünce x^2 − 5x − 14 = 0 elde edilir; pozitif tamsayı kök 7’dir.

3. Bu tür sorularda genelde hangi tuzaklar var?

  • Kalan tokayı tam doldurma sanmak (burada x. kutu eksik dolduruldu).
  • Toplamı yanlış toplamak; aritmetik dizi özelliğini bilmemek süre kaybettirir.

Sonraki Adımlar

Bu sorudan benzer birini (farklı x veya kalan tokayla) hazırlamamı ister misin? @Yasin