Aziz, bir deney için her biri birbirinden farklı büyütme oranına sahip A, B, C ve D merceklerini ikili olarak kullanmış ve elde ettiği büyütme oranlarını aşağıdaki şekilde not almıştır.
120 kat büyüme
60 kat büyüme
72 kat büyüme
Aziz’in kullandığı merceklerin büyütme oranları birer tam sayı olduğuna göre
I.
II.
III.
Merceklerin Büyütme Oranlarının ve İkili Kombinasyonlarının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL:
İki mercek birlikte kullanıldığında toplam büyütme oranı, merceklerin büyütme oranlarının çarpımına eşittir:
\text{Toplam Büyütme} = \text{Mercek}_1 \times \text{Mercek}_2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitlikleri Matematiksel Olarak Tanımlama
Görseldeki 3 mikroskopta elde edilen büyütme oranları:
- D \times B = 120
- A \times C = 60
- B \times C = 72
Tüm merceklerin büyütme oranları (A, B, C, D) birbirinden farklı birer pozitif tam sayıdır.
Adım 2 — Ortak Çarpanları Belirleme
- B merceği hem 120’nin hem de 72’nin ortak bir bölenidir: \text{EBOB}(120, 72) = 24.
- C merceği hem 60’ın hem de 72’nin ortak bir bölenidir: \text{EBOB}(60, 72) = 12.
- A = \frac{60}{C} ve C = \frac{72}{B} olduğundan:A = \frac{60}{\frac{72}{B}} = \frac{60 \cdot B}{72} = \frac{5 \cdot B}{6}
- A’nın bir tam sayı olabilmesi için B’nin 6’nın katı olması gerekir.
Adım 3 — Uygun Tam Sayı Değerlerini Bulma
B, 24’ün bir böleni ve 6’nın katı olmalıdır. Olası B değerleri: 6, 12, 24
-
B = 12 durumu:
- C = \frac{72}{12} = 6
- D = \frac{120}{12} = 10
- A = \frac{60}{6} = 10
- Bu durumda A = D = 10 olur. Ancak soruda tüm merceklerin büyütme oranlarının birbirinden farklı olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bu durum elenir.
-
B = 6 durumu:
- C = \frac{72}{6} = 12
- D = \frac{120}{6} = 20
- A = \frac{60}{12} = 5
- Değerler: A = 5, B = 6, C = 12, D = 20 (Tümü birbirinden farklı tam sayılardır
)
-
B = 24 durumu:
- C = \frac{72}{24} = 3
- D = \frac{120}{24} = 5
- A = \frac{60}{3} = 20
- Değerler: A = 20, B = 24, C = 3, D = 5 (Tümü birbirinden farklı tam sayılardır )
Adım 4 — Alt Kısımdaki İkili Kombinasyonların Hesaplanması
-
I. Mikroskop (A ve D mercekleri):
A \times D = \frac{5B}{6} \times \frac{120}{B} = \frac{5 \times 120}{6} = 100 \text{ kat}(Her iki durumda da 5 \times 20 = 100 veya 20 \times 5 = 100 çıkmaktadır.)
-
II. Mikroskop (D ve C mercekleri):
- 1. duruma göre: 20 \times 12 = 240 \text{ kat}
- 2. duruma göre: 5 \times 3 = 15 \text{ kat}
-
III. Mikroskop (B ve A mercekleri):
- 1. duruma göre: 6 \times 5 = 30 \text{ kat}
- 2. duruma göre: 24 \times 20 = 480 \text{ kat}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- A ve D merceklerinin birlikte kullanımı (I. durum) kesin olarak 100 kat büyüme sağlar.
- Merceklerin tekil büyütme oranları kümesi \{A, B, C, D\} kesin olarak \{5, 6, 12, 20\} veya \{20, 24, 3, 5\} değerlerini alır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpanlar ve Katlar (EBOB Uygulaması)
- Tanım: Birden fazla sayıyı kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıya EBOB denir.
- Bu problemde: İki farklı denklemde ortak olan B ve C değişkenlerinin alabileceği değerler, verilen çarpımların ortak bölenleri incelenerek sınırlandırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Birbirinden Farklı” Şartını Gözden Kaçırmak
- Yanlış: B = 12 alarak A=10 ve D=10 bulup çözüme devam etmek.
- Doğru: A ve D eşit çıktığı için B=12 ihtimalini eleyip diğer çarpanları denemek.
- Neden yanlış: Soru kökünde her merceğin büyütme oranının birbirinden farklı olduğu açıkça belirtilmiştir.
Görselin alt kısmındaki öncüllerin veya şıkların tamamını netleştirmek için sorunun alt kısmını içeren devam fotoğrafını paylaşmak ister misin?
Bana bu cevabı Özetle
Merceklerin Büyütme Oranları Çözüm Özeti
TEMEL KURAL: İki mercek birlikte kullanıldığında toplam büyütme, merceklerin büyütme oranlarının çarpımıdır:
\text{Toplam Büyütme} = \text{Mercek}_1 \times \text{Mercek}_2
ÖZET ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitlikler
- D \times B = 120
- A \times C = 60
- B \times C = 72
Adım 2 — Merceklerin Alabileceği Değerler
Merceklerin tamamı birbirinden farklı birer tam sayı olmak zorundadır. Ortak çarpanlar incelendiğinde iki geçerli durum bulunur:
- 1. Durum: A = 5, B = 6, C = 12, D = 20
- 2. Durum: A = 20, B = 24, C = 3, D = 5
(Not: B=12 alındığında A=10 ve D=10 çıkarak eşitlik kuralını bozduğu için elenir.)
Adım 3 — İkili Kombinasyonların Sonuçları
- I. (A ve D merceği): Her iki durumda da kesinlikle 100\text{ kat} (5 \times 20 = 100 veya 20 \times 5 = 100)
- II. (D ve C merceği): 240\text{ kat} veya 15\text{ kat}
- III. (B ve A merceği): 30\text{ kat} veya 480\text{ kat}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET CEVAP:
- I. öncül (A ve D) kesinlikle 100 kat büyütür.
- Merceklerin tekil değerleri kümesi kesin olarak \{5, 6, 12, 20\} veya \{3, 5, 20, 24\} olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soruda yer alan I, II ve III numaralı öncülleri bu sonuçlara göre birlikte yorumlamamızı ister misin?