Sorunun Çözümü Adım Adım:
Soruda bize verilen bilgiler:
- Akıntı hızı (v_a) = 2 m/s (sağa doğru)
- Motor suya göre v hızı ile akıntı yönünde hareket ediyor.
- L noktasına 6 saniyede ulaşmış.
- L noktasında motor 4 saniye duruyor.
- Daha sonra motor suya göre aynı v hızı ile geri dönüyor ve K noktasına 10 saniyede ulaşıyor.
Motorun suya göre hızını bulmamız isteniyor.
Adım 1: L’ye giderken motorun toplam yolu
Motor önce akıntı yönünde hareket etmekte. K-L arasındaki yolu bulmak için formül:
Buraya göre:
- Motorun nehirdeki net hızı: v_\text{motor} + v_a (çünkü akıntı yönünde).
- Zaman: 6 saniye.
Bu durumda:
K-L arasındaki yol:
Adım 2: K’ya geri dönerken motorun toplam yolu
Motor akıntıya karşı geri döndüğünde net hızı:
Burada motorun suya göre hızı (v), akıntı hızından çıkarılır.
Geri dönüşte verilen süre:
Motorun geri getirdiği yol:
Adım 3: Yol uzunlukları eşitliği
Motorun ileri ve geri giderken kat ettiği toplam yol, eşit olmalıdır. Bu nedenle:
Adım 4: Denklemin çözümü
Denklemi düzenleyelim:
Buradan:
Motorun suya göre hızı (v):
Adım 5: Doğru Cevap
Motorun suya göre hızı 8 m/s ancak şıklarda bu yok. Sistemle uyum hatası olabilir. Eğer başka bir detay eklerseniz yeniden teyit ederiz.
Akıntı hızının ϑₐ = 2 m/s sağa doğru olduğu bir nehirde bir motor suya göre ϑ hızı ile akıntı yönünde harekete başlıyor. L noktasına 6 saniyede geliyor. L’ye geldiğinde motoru durdurup 4 saniye bekliyor. Ardından tekrar aynı suya göre hız (ϑ) ile geri dönüyor ve K’ya 10 saniyede varıyor. Buna göre motorun suya göre hızı ϑ kaç m/s’dir?
Cevap:
Table of Contents
- Sorunun Genel Bakışı
- Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Adım Adım Çözüm
- Denklemlerin Kurulması ve Çözüm
- Özet Tablo
- Sonuç ve Kısa Değerlendirme
1. Sorunun Genel Bakışı
Bir nehirde akıntı hızı sağa doğru 2 m/s olarak verilmiştir. Motor, suya göre bilinmeyen bir hız (ϑ) ile önce akıntı yönünde hareket ederek K noktasından L noktasına gider. L noktasına varış süresi 6 saniyedir.
L noktasına ulaştığında motor 4 saniye süreyle durur (bu sırada akıntı hâlâ sürmektedir, tekne sürüklenmeye devam eder). Ardından tekne yine aynı ϑ hızı (suya göre) ile bu kez akıntıya ters yönde (K noktasına doğru) hareket eder ve 10 saniye sonra K’ya varır. Burada önemli ayrıntı, 10 saniyenin tümünün motorlu geri dönüş hareketi mi yoksa bekleme süresini de içerip içermediğidir. Soruda “4 s bekliyor ve K’ya 10 saniyede varıyor” ifadesi, 4 s beklemenin ardından 10 s daha sürerek K’ya vardığını gösterir.
Buna göre, sorunun bizden istediği: “Motorun suya göre hızı (ϑ) kaç m/s’dir?”
2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Akıntı Hızı (ϑₐ): Nehrin akışının tekneye kazandırdığı veya teknenin hızından “çıkarılan” hızdır. Burada ϑₐ = 2 m/s.
- Teknenin Suya Göre Hızı (ϑ): Teknenin, durağan bir su ortamında kendi pervanesiyle oluşturduğu hızdır. Gerçekte ölçülmek istenen budur.
- Karadenet (Yere Göre) Hız: Nehirdeki teknenin gözlemci tarafından görülen hızı, genelde teknenin suya göre hızı ile akıntı hızının vektörel toplanmasıyla bulunur.
3. Adım Adım Çözüm
3.1 K → L Hareketi
- Tekne, akıntı yönünde (sağa doğru) gittiği için net hız:V_{\text{K→L}} = \underbrace{ϑ}_{\text{suya göre hız}} \;+\; \underbrace{2}_{\text{akıntı hızı}}
- K’den L’ye varma süresi: 6 s
- Bu durumda d_{\text{KL}} mesafesi:d_{\text{KL}} = (ϑ + 2) \times 6
3.2 L Noktasında Bekleme ve Sürüklenme
- Motor 4 s durur. Pervane çalışmadığı için teknenin suya göre hızı 0’dır.
- Akıntı tekneyi 4 saniye boyunca sağa doğru 2 m/s hızla sürükler.
- Bu sürüklenme sonucu tekne, L noktasından 2 \times 4 = 8 \text{ m} daha sağa kayar.
- Teknenin başlangıçtaki K noktasına uzaklığı artık d_{\text{KL}} + 8 metre olur.
3.3 L → K Hareketi
- Tekne tekrar çalıştırılır ve bu kez akıntıya karşı (sola doğru) gider.
- Net hızı şimdi ϑ - 2 (çünkü akıntı hâlâ sağa 2 m/s, tekne sola gitmeye çalışıyor).
- Bu hareketin süresi 10 s olarak verilmiştir.
4. Denklemlerin Kurulması ve Çözüm
-
K’den L’ye gidişte mesafe:
d_{\text{KL}} = (ϑ + 2)\times 6 -
L noktasına ulaşıp 4 s beklediğinde 8 m daha sağa sürüklenir. Bu yüzden teknenin K’ya dönüş esnasındaki toplam mesafesi:
d_{\text{LK-drift}} = d_{\text{KL}} + 8 -
Geri dönüş (L → K) 10 s sürer; net hızı (ϑ - 2) olduğu için bu yol:
(ϑ - 2)\times 10 = d_{\text{KL}} + 8Yerine koyarsak:
(ϑ - 2)\times 10 = (ϑ + 2)\times 6 + 8Önce sol tarafı açalım:
10ϑ - 20 = 6ϑ + 12 + 810ϑ - 20 = 6ϑ + 2010ϑ - 6ϑ = 20 + 204ϑ = 40ϑ = 10 \text{ m/s}
Böylece teknenin suya göre hızı ϑ = 10 m/s bulunur.
5. Özet Tablo
| Aşama | Süre (s) | Net Hız | Alınan Yol (m) |
|---|---|---|---|
| K → L | 6 | (ϑ + 2) | d_{\text{KL}} = (ϑ + 2) \times 6 |
| L’de Bekleme (Motor Kapalı) | 4 | Akıntı = 2 m/s | 8 m sağa sürüklenir |
| L → K (Motor Açık, Akıntıya Karşı) | 10 | (ϑ - 2) | (ϑ - 2) \times 10 = d_{\text{KL}} + 8 |
6. Sonuç ve Kısa Değerlendirme
Yukarıdaki adımlar gösteriyor ki motorun suya göre hızı ϑ = 10 m/s olmalıdır. Bu tip nehir-akıntı problemlerinde bekleme anında teknenin sürüklenmesi çoğu zaman göz ardı edilebiliyor. Ancak soruda tekne 4 saniye boyunca akıntı tarafından sürüklenerek ek bir mesafe kat ettiği için geri dönüş yolunun uzadığını ve bu detay hesaba katılınca doğru cevabın 10 m/s olduğu anlaşılır.
Soru: 122
“Akıntı hızının v_a = 2\text{ m/s} sağa doğru olduğu bir nehirde bir motor, suya göre v hızı ile akıntı yönünde harekete başlıyor. L noktasına 6 saniyede geliyor. L’ye geldiğinde motoru stop ediyor ve 4 saniye bekliyor. Sonra aynı v suya göre hızı ile geri dönüyor ve K’ya 10 saniyede varıyor. Buna göre motorun suya göre hızı v kaç m/s’dir?”
Cevap:
İçindekiler
1. Sorunun Anlaşılması
Bu problemde, bir nehirdeki akıntı hızı 2 m/s olarak verilmiştir. Motorun gerçek hızı ise suya (yani akıntıya) göre tanımlanır ve v (m/s) ile ifade edilmektedir. Motor önce akıntı yönünde (sağa doğru) hareket edecek, sonrasında 4 saniye bekleyecek (bu bekleme süresince motor duracağından tek etki akıntı olacak), ardından ise zıt yönde (akıntıya karşı) suya göre yine v hızıyla geri dönecektir.
- Gidiş süresi: 6 s
- Bekleme süresi (motor duruyor, akıntı sürüklüyor): 4 s
- Dönüş süresi: 10 s
Bu bilgilerin ışığında, motorun suya göre hızının (yani akıntıya göre göreli hızının) kaç m/s olduğunu bulmamız isteniyor.
2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Akıntı Hızı (v_a): Nehrin suyu belirli bir yönde taşıma hızıdır. Bu soruda sağa doğru 2 m/s olarak belirtilmiştir.
- Motorun Suya Göre Hızı (v): Bu değer, motorun doğrudan suya göre sahip olduğu hızdır. Eğer su duruyor olsaydı, motorun hızı doğrudan v olurdu. Ancak akıntı olduğundan, kara/zemin gözlem çerçevesinden bakıldığında motorun net hızı akıntının eklenmesi veya çıkarılmasıyla hesaplanır.
- Toplam Yol: Motor K noktasından L noktasına giderken katettiği mesafe ile L’den K’ya dönerken katettiği mesafenin büyüklüğü aynı olmayabilir; çünkü bekleme sırasında da bir sürüklenme olacaktır.
- Zaman: Her hareket evresi için zaman değerleri (6 s gidiş, 4 s bekleme, 10 s dönüş) önemlidir.
3. Sorudaki Verilerin İncelenmesi
- Akıntı yönü: Sağ (pozitif x-yönü)
- Akıntı hızı: \displaystyle v_a = 2 \text{ m/s}
- Motorun suya göre hızı: \displaystyle v (aradığımız bilinmeyen)
- K \to L hareketi (akıntı ile aynı yönde): Süre = 6 s
- Bu sırada motorun karaya göre hızı: (v + v_a) = (v + 2)
- L’de bekleme: 4 s
- Motor durduğundan, tek etkili hız akıntıdır (2 \text{ m/s}). Motor L noktasından sağa doğru 4 s boyunca sürüklenir. Bu sürüklenme mesafesi: 2 \cdot 4 = 8 \text{ m}
- L \to K hareketi (akıntıya karşı): Süre = 10 s
- Bu sırada motorun karaya göre hızı: (v - v_a) = (v - 2) (çünkü akıntı sağa, motor sola doğru yüzmektedir)
4. Hareketin Evreleri
- K’den L’ye Hareket (6 s)
- Motorun net hızı: v + 2
- Alınan yol:
- L’de 4 s Bekleme
- Motor duruyor; akıntı etkisiyle sürükleniyor.
- Bekleme sürecinde sürüklenilen yol:
- Dolayısıyla motor L noktasından 8 m daha sağa sürüklenir. Bu yeni noktaya M diyelim; yani L’den M’ye 8 m.
- M’den K’ya Dönüş (10 s)
- Şimdi motor akıntıya karşı, yine suya göre v hızıyla (sola doğru) hareket ediyor.
- Akıntı sağa 2 m/s olduğu için, net hızı (karaya göre) v - 2 olur.
- Toplam dönüş mesafesi ise K ile M arasındaki mesafedir:
- Bu dönüş yolunu 10 s’de alır:
5. Matematiksel Model Kurma
Yukarıdaki bulguları özetlersek:
- Gidiş mesafesi:
- Bekleme kayması:
- Dönüş mesafesi (M \to K arası), d_{MK}:
Bu mesafe, motorun 10 saniyede kateddiği yoldur:
Dolayısıyla şu denkleme ulaşırız:
6. Denklemlerin Adım Adım Çözümü
Denklemimizi düzenleyip çözümleyelim:
Önce sol tarafı açalım:
Toplayalım:
Şimdi terimleri karşılıklı aktaralım:
Buradan:
Dolayısıyla motorun suya göre hızı v = 10 \text{ m/s} bulunur.
7. Sonucun Yorumu ve Kontrolü
- Doğrulama (Check): Elde ettiğimiz sonuca göre motor suya göre 10 m/s hızla hareket ediyor.
- Gidiş (K→L): Motor sağa hareket ederken akıntıyla aynı yönde net hızı 10 + 2 = 12 \text{ m/s} olacaktır. Bu hızı 6 s boyunca koruyarak aldığı yol $12 \times 6 = 72 \text{ m}$’dir.
- Bekleme (L’de 4 s): Motor durduğunda sürüklenmeye devam eder, 4 s’de 2 m/s akıntıyla gittiği yol $8 \text{ m}$’dir. Böylece K ile M arasındaki toplam mesafe 72 + 8 = 80 \text{ m} olur.
- Dönüş (M→K): Artık motor sola doğru 10 m/s hıza sahip, akıntı 2 m/s sağa doğru olduğu için net hızı 10 - 2 = 8 \text{ m/s} olur. 80 m’lik dönüş mesafesini 10 s’de alabilir mi? Evet, 8 \times 10 = 80 \text{ m}. Bu da hem denklemle hem de mantıkla uyumludur.
Bu kontrol, bulduğumuz v = 10 \text{ m/s}’in tutarlı ve doğru sonuç verdiğini gösterir.
8. Formüllerin ve Adımların Özeti
- Gidiş Mesafesi
- Bekleme Sürüklenmesi
- Dönüş Mesafesi
- Dönüş Süresi
- Sonuç
9. Örnek Bir Tablo ile Değerlerin Gösterimi
Aşağıdaki tabloda, gidiş, bekleme ve dönüş evrelerine ait temel hız ve mesafe bilgilerinin bir özeti verilmiştir:
| Evre | Süre (s) | Göreli Hız (m/s) | Alınan Yol (m) | Açıklama |
|---|---|---|---|---|
| K’den L’ye (gidiş) | 6 | (v + 2) = (10 + 2) = 12 | 12 \times 6 = 72 | Akıntı yönünde hareket (motor+akıntı) |
| L’de bekleme | 4 | 2 | 2 \times 4 = 8 | Motor durduğu için yalnızca akıntı sürüklemeye devam eder |
| L’den K’ya (dönüş) | 10 | (v - 2) = (10 - 2) = 8 | 8 \times 10 = 80 | Akıntıya karşı hareket (motorun hızı - akıntı hızı) |
| Toplam mesafe M→K | - | - | 72 + 8 = 80 | Dönüşte gidilmesi gereken toplam mesafe (K’den L’ye + bekleme sürüklenmesi) |
Tablodan da görüldüğü gibi, gidiş ve dönüş mesafe/zaman hesabı v=10 \text{ m/s} için tam uyum sağlar.
10. Genel Değerlendirme ve Sonuç
Bu problemde, akıntı bulunan bir nehirde hareket eden bir motorun suya göre hızını bulurken dikkat edilmesi gereken en önemli noktalardan biri, bekleme süresi boyunca motorun akıntı etkisiyle sürüklenen fazladan mesafesini de hesaba katmaktır. Birçok öğrenci, bekleme süresini ihmal edip doğrudan gidiş-dönüş mesafelerini eşit aldığı için farklı (ve hatalı) bir sonuç elde edebilir. Soruda motor durduğu anda akıntı tek başına 4 saniye boyunca tek başına etki ederek 8 metrelik fazladan yol kat edilmesini sağlar. Böylece dönüş mesafesi, gidiş mesafesinden 8 metre daha fazla olur.
Yapılan hesaplamalar neticesinde motorun suya göre hızı, denklemlerin tutarlı bir şekilde çözülmesiyle 10 m/s olarak bulunur. Sorunun çoktan seçmeli cevaplarında da (B) 10 m/s doğru seçenek olarak verilmektedir. Ayrıca kontrol amaçlı yaptığımız aritmetik, sonucu teyit etmektedir.
Özetle, şu adımları izlediğimizde sonuca kolayca ulaşırız:
- Gidiş hareketi (6 s) → Bulunan mesafe
- Bekleme (4 s) → Akıntı etkisiyle 8 m fazladan sürüklenme
- Dönüş (10 s) → Toplam mesafe = Gidiş + Bekleme sürüklenmesi
- Denklemin çözümü → v = 10 \text{ m/s}
Bu yöntem, farklı sınavlarda veya benzer uygulamalı fizik sorularında karşılaşılan akıntı, rüzgâr, hareketli bant problemleri gibi durumlarda da rahatlıkla kullanılabilir.
Cevap Seçeneği:
Sorudaki şıklara bakıldığında, hesaplarımız doğrultusunda doğru cevap “10 m/s” olmaktadır.
Son Söz: Hesaptan da görüldüğü üzere, bekleme anında akıntının sürükleme etkisini atlamamak, özellikle akıntı veya rüzgâr sorularında önemli bir ayrıntıdır.
@anonymous13