Sorunun açıklaması:
Bu soru, fizik dersindeki hava ortamındaki serbest düşme ile ilgili bir durum analizinden oluşmaktadır. Soru özellikle cisimlerin kütlesi, yarıçapı ve hava direncini dikkate alarak değerlendirme yapılmasını istemektedir.
Cisimlerin özellikleri:
- m₁ ve m₂ kütleli, r yarıçaplı küresel iki cisim.
- İki cisim aynı hava ortamında aynı yükseklikten serbest bırakılıyor.
Yargılar:
-
Cisimlerin havada kalma süreleri farklıdır.
Hava direnci, cismin kütlesi ve şekline bağlı olarak cisimlerin hızını etkiler. Daha büyük kütle, nispeten daha az hava direncine maruz kaldığından havada daha kısa sürede kalabilir. Ancak hızlanma aşamasında farklı özellikler sonucu bir fark oluşabilir. -
Cisimlerin yere çarpma hız büyüklükleri farklıdır.
Hava direnci nedeniyle, iki cismin yere çarpma hızları farklı olacaktır. Bu hız, cismin kütlesi ve hava direnciyle ilişkilidir. Ağır olan cisim daha yüksek bir hızla yere çarpar. -
Cisimlerin limit hıza ulaşma süreleri farklıdır.
Limit hız, hava direncinin etkisinin, cismin ağırlığını dengelediği noktadır. Bu limit hız, cismin kütlesi ve yüzey alanına bağlıdır. Daha ağır ve büyük bir nesne limit hıza daha uzun bir sürede ulaşabilir.
Doğru Şık:
Her üç yargı da (I, II ve III) doğrudur. Bu nedenle doğru cevap E şıkkıdır.
Detaylı Çözüm:
Cisimler:
- Aynı yarıçap ve farklı kütlelere sahip oldukları için hava direnç faktörleri farklıdır.
- Kütle büyüdükçe yere çarpma hızındaki büyüklük hava ortamında daha etkili olur.
Bu durum fiziksel serbest düşme ve hava direnci etkilerinin değerlendirmesini içerir.
m₁, m₂ kütleli ve r yarıçaplı küresel iki cisim aynı hava ortamında ve yeterince yüksekliğe sahip aynı noktadan serbest bırakılıyor. Buna göre; I. Cisimlerin havada kalma süreleri farklıdır. II. Cisimlerin yere çarpma hız büyüklükleri farklıdır. III. Cisimlerin limit hıza ulaşma süreleri farklıdır. Yargılarından hangileri doğrudur?
Cevap:
Soru Analizi ve Temel Kavramlar
İki tane r yarıçaplı, ancak farklı kütleli (m_1 ve m_2) küresel cisim var. Aynı hava ortamında serbest bırakılıyorlar. Hava direnciyle karşılaşacakları için aralarındaki farklar önemlidir.
Önemli Terimler:
- Limit Hız (Terminal Velocity): Cisme etki eden ağırlık kuvveti ile hava direnci eşit olunca cismin eriştiği sabit hızdır.
- Hava Direnci: Cismin büyüklüğüne, şekline, hızına ve ortamın yoğunluğuna bağlıdır. Genellikle F_{hava} = k v^2 bağıntısı kullanılır.
- Yere Çarpma Hızı: Serbest düşmede, hava direnci yoksa cisimler aynı hızla çarpar; fakat hava direncinde kütle farkı önemli olur.
I. Cisimlerin havada kalma süreleri farklıdır.
- Hava direncinin yanında kütlesi büyük olan cisim daha hızlı ivmelenir ve havada daha az süre kalır.
- Limit hıza ulaşamadan önce de kütlenin etkisi vardır.
- Bu ifade doğrudur.
II. Cisimlerin yere çarpma hız büyüklükleri farklıdır.
- Limit hıza ulaşabilme olasılığına göre bu durum değişir.
- Kütlesi daha fazla olan cisim, limit hız değeri daha büyük olacağından yere daha yüksek hızla çarpar (limit hıza erişmemiş olsa bile, hava direncinden daha az etkilenir).
- Bu ifade doğrudur.
III. Cisimlerin limit hıza ulaşma süreleri farklıdır.
- Limit hız; v_{lim} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_d A}} ile bulunur (A = kesit alanı). A ve C_d aynı, m farklı.
- Kütlesi büyük olan cismin limit hızı daha fazladır ve o limite ulaşmak için daha uzun yol/ süre gereklidir, çünkü başlangıç ivmesi yüksek ama limit hıza daha geç ulaşır.
- Bu ifade doğrudur.
Tablo ile Özet
| Yargı | Doğru mu? | Açıklama |
|---|---|---|
| I |  |
Kütle farkı ve hava direnci sürelere etki eder. |
| II | |
Farklı limit hızlar nedeniyle yere çarpma hızı farklı olur. |
| III | |
Limit hıza ulaşma süreleri kütle ile değişir. |
Cevap Seçeneği
Doğru cevap: E şıkkı (I, II ve III).
Ek Bilgi (Fiziksel Kıyaslama)
- Serbest Düşmede (Hava Direnci Olmasaydı): Tüm cisimler eşit sürede ve aynı hızda çarpar.
- Hava Direncinde (Gerçek Durum): Kütle/alan oranı büyük olan cisim hava direncinden daha az etkilenir. Bu yüzden, her 3 yargı da doğrudur.
Kaynaklar:
- Serway, Jewett - Physics for Scientists and Engineers
- FKB 12. Sınıf Fizik Kitapları (2023)
m₁ ve m₂ kütleli, yarıçapı r olan iki küresel cismin hava ortamında serbest düşmesi sorusu
Soru Özeti:
Aynı hava ortamında, eşit yarıçapa (r) sahip ancak kütleleri farklı (m₁ ≠ m₂) olan iki küresel cisim, aynı yükseklikten aynı anda serbest bırakılıyor. Sürtünmeli ortam (hava direnci) söz konusu olduğundan,
- Cisimlerin havada kalma süreleri
- Yere çarpma hızlarının büyüklükleri
- Limit hıza (terminal hız) ulaşma süreleri
birbirine göre nasıl olur? Hangileri farklıdır?
Aşağıdaki açıklamalar, her bir maddenin neden farklı (ya da aynı) olacağını gösterir:
1. Havada Kalma Süreleri
• Hava direnci, cismin kesit alanına (A) ve hızına (v) bağlı bir kuvvettir (örneğin, F_D \sim v^2 formunda).
• İki cismin çapları (dolayısıyla kesit alanları) aynı olduğu için sürükleme (drag) katsayıları benzer varsayılır.
• Kütle farkı nedeniyle ağırlıkları (mg) farklıdır. Büyük kütleli cisim (m₂ diyelim), aynı hızda bile net kuvveti daha büyük olduğundan daha fazla ivmelenir ve görece daha kısa sürede yere ulaşır.
• Dolayısıyla, kütlesi büyük olan cisim hava ortamında daha kısa sürede yere düşer; hafif olan daha uzun süre havada kalır.
• Sonuç: Havada kalma süreleri farklıdır.
2. Yere Çarpma Hızlarının Büyüklükleri
• Cisimler yüksekten bırakıldığı ve hava direnci olduğu için belli bir limit (terminal) hıza ulaşma eğilimindedirler.
• Bu terminal hız, v_{t} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho\,A\,C_D}} (yaklaşık bir formül) ile orantılıdır; kütlesi büyük olanın terminal hızı daha büyük olur.
• Yüksekliğin “yeterince büyük” olması durumunda cisimler terminal hıza yakın bir değere erişerek yere çarparlar. Büyük kütleli cismin terminal hızı daha büyük olacağından yere çarpma hızı da daha büyük olur.
• Sonuç: Yere çarpma hızları da farklıdır.
3. Limit Hıza Ulaşma Süreleri
• Kütlesi büyük olan cismin net kuvveti (mg − F_sürtünme) hafif cisme göre aynı hızlarda daha büyük olacaktır. Bu nedenle daha hızlı ivmelenir.
• Bununla birlikte, büyük kütleli cismin terminal hızı daha yüksek olduğu için “limit hıza varış süresi” de hafif cisme göre farklı olur. Genelde daha büyük kütleli cisim, fazla sürüklenmeden dolayı “kendisinin daha yüksek” olan terminal hızına ulaşmak üzere hızlanır ve hafiften farklı bir zaman diliminde o sınıra yaklaşır.
• Her hâlükârda hız-eşitliğini bozan temel etmen kütledir ve iki cismin zaman-mesafe grafiği aynı şekilde olmaz.
• Sonuç: Limit hıza (terminal hıza) ulaşma süreleri de farklıdır.
Doğru Yargılar
Yukarıdaki gerekçelerle:
- Cisimlerin havada kalma süreleri farklıdır.
- Cisimlerin yere çarpma hız büyüklükleri farklıdır.
- Cisimlerin limit hıza ulaşma süreleri farklıdır.
Dolayısıyla doğru cevap I, II ve III’ün hepsi farklı (E şıkkı) şeklindedir.
m₁ ve m₂ kütleli, r yarıçaplı iki küresel cismin serbest düşmesi
Soru:
m₁, m₂ kütleli ve r yarıçaplı küresel iki cisim aynı hava ortamında ve yeterince yüksekliğe sahip aynı noktadan serbest bırakılıyor.
Buna göre;
I. Cisimlerin havada kalma süreleri (serbest düşme süreleri) farklıdır.
II. Cisimlerin yere çarpma hız büyüklükleri (impact hızları) farklıdır.
III. Cisimlerin limit hıza ulaşma süreleri farklıdır.
Yargılarından hangileri doğrudur?
Table of Contents
- Ön Bilgiler ve Temel Kavramlar
- Serbest Düşme ile Hava Direnci Birlikte
- I. Yargı: Havada Kalma Süreleri Farklı mıdır?
- II. Yargı: Yere Çarpma Hızları Farklı mıdır?
- III. Yargı: Limit Hıza (Terminal Hız) Ulaşma Süreleri Farklı mıdır?
- Özet Tablo
- Sonuç ve Doğru Seçenek
1. Ön Bilgiler ve Temel Kavramlar
- Cismin ağırlığı: ( W = m,g )
- Hava direnci (yüksek hızlarda): ( F_{d} = \tfrac12,C_{d},\rho,A,v^2 )
- (C_d): Sürüklenme katsayısı (küre için yaklaşık 0.47)
- (\rho): Havada yoğunluk (~1.2 kg/m³)
- (A=\pi r^2): Cismin dik kesit alanı
- Net kuvvet: ( F_{\text{net}} = m a = m g - F_d )
- Limit hız (terminal hız): Cismin ivmelenmesinin sıfırlandığı durumda
[
m g = \tfrac12 C_d \rho A v_t^2
\quad\Longrightarrow\quad
v_t = \sqrt{\frac{2,m,g}{C_d,\rho,A}}
]
Not: r yarıçapı eşit, dolayısıyla (A) ve (C_d) sabit; m farklı.
2. Serbest Düşme ile Hava Direnci Birlikte
- Yüksekten bırakılan cisim önce ivmelenir, hız arttıkça hava direnci artar.
- Bir süre sonra ağırlık = hava direnci olduğunda hız sabitlenir: limit hız.
- Yüksekliğin “yeterince büyük” olması, her iki cismin de limit hıza yakın bir bölgeye ulaşacağı anlamına gelir.
3. I. Yargı: Cisimlerin Havada Kalma Süreleri Farklı mıdır?
- Hava direncinin etkisiyle düşme süresi sadece yerçekimi ivmesi (g) değil; oluşan sürüklenme kuvveti de etkiler.
- Daha hafif cisim, daha düşük terminal hıza ulaşır; genel ortalama hızı daha küçüktür → daha uzun sürede yere düşer.
- Daha ağır cisim, daha yüksek terminal hız limitine sahiptir; ortalama hızı daha büyük → daha kısa sürede yere ulaşır.
Sonuç: I. yargı doğru.
4. II. Yargı: Cisimlerin Yere Çarpma Hızları Farklı mıdır?
- Eğer yükseklik çok büyükse, her iki cisim terminal hıza ulaşmış olur ve yere neredeyse (v_t) ile çarpar.
- Terminal hız formülü:
[
v_t = \sqrt{\frac{2,m,g}{C_d,\rho,\pi r^2}}
\quad\Longrightarrow\quad
v_t \propto \sqrt{m}.
] - m₁ ≠ m₂ olduğuna göre (v_{t1}\neq v_{t2}).
Sonuç: II. yargı doğru.
5. III. Yargı: Limit Hıza Ulaşma Süreleri Farklı mıdır?
- İvme denklemi: ( m,\frac{dv}{dt} = m g - k v^2 ), burada (k=\tfrac12 C_d \rho A).
- Kararlık (terminal) hıza yaklaşımın zaman ölçeği yaklaşık
[
\tau \sim \frac{m}{k,v_t}
;\propto;\frac{m}{\sqrt{m}}
= \sqrt{m}.
] - Daha büyük kütle → daha uzun karakteristik süre → terminal hıza daha geç varır.
Sonuç: III. yargı doğru.
6. Özet Tablo
| Yargı No | İfade | Değerlendirme |
|---|---|---|
| I | Havada kalma süreleri farklıdır. | Doğru |
| II | Yere çarpma hız büyüklükleri farklıdır. | Doğru |
| III | Limit hıza ulaşma süreleri farklıdır. | Doğru |
7. Sonuç ve Doğru Seçenek
Tüm I, II ve III yargıları doğrudur.
Doğru seçenek: E) I, II ve III