Ayt matematik trigonemetri

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

20250303_081017
20250303_081017720×960 21.6 KB

2

AYT Matematik Trigonometri Çözümleri

Şimdi soruları ayrıntılı bir şekilde çözelim.

Soru 31

A = \cos(46^\circ), \quad B = \csc(44^\circ), \quad C = \cot(44^\circ)

olduğuna göre, A, B ve C sayılarının sıralaması nedir?

Çözüm:

  • A = cos(46°)
    \cos(46^\circ), 0 ile 1 arasında bir değerdir. \cos fonksiyonunun açı büyüdükçe küçüldüğünü biliyoruz, dolayısıyla \cos(46^\circ) < \cos(44^\circ) olacaktır.

  • B = \csc(44^\circ)
    \csc(44^\circ), \sin(44^\circ)'ün çarpma işlemindeki tersidir:

    \csc(44^\circ) = \frac{1}{\sin(44^\circ)}

    \sin(44^\circ) pozitif ve 0 ile 1 arasında bir değer olduğundan dolayı, \csc(44^\circ), 1’den büyüktür.

  • C = \cot(44^\circ)
    \cot(44^\circ), \tan(44^\circ)'ün çarpma işlemindeki tersidir:

    \cot(44^\circ) = \frac{\cos(44^\circ)}{\sin(44^\circ)}

    \tan(44^\circ)'ün değeri 1’e yakın olduğundan (44° değeri 45°’e oldukça yakın), \cot(44^\circ) da 1’e yakın bir değere sahip ancak kesinlikle 1’den büyüktür.

Değerlerin sırasını bulalım:

  • A = \cos(46^\circ), 0 ile 1 arasında olduğu için küçüktür.
  • C = \cot(44^\circ), \csc(44^\circ)'den küçük ama \cos(46^\circ)'ten büyüktür.
  • B = \csc(44^\circ), hepsinden büyüktür.

Sonuç olarak sıralama:
C < B < A
Doğru cevap: E şıkkı

Soru 32

0 < x < \frac{\pi}{2} \text{ olmak üzere, }
\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{5}{6}

eşitliği veriliyor. Buna göre \tan(x) değeri kaçtır?

Çözüm:

Soruyu analiz edelim:
İfade şu şekilde verilmiş:

\frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{5}{6}

Bu ifadeyi ortak payda bularak düzenleyelim:
Ortak payda \sin(x) \cdot \cos(x)'tir, bu durumda:

\frac{\cos(3x) \cdot \cos(x) + \sin(3x) \cdot \sin(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} = \frac{5}{6}

Paydaki terimi \cos açılımı kullanarak düzenleyelim:

\cos(3x - x) = \cos(2x)

Üst kısım şu hale gelir:

\cos(2x) \quad \Rightarrow \quad \frac{\cos(2x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} = \frac{5}{6}

Bu duruma göre:

\cos(2x) = \frac{5}{6} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)

Trigonometri Özelliklerini Kullanma:

\cos(2x) açılımını yazalım:

\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)

Yerine koyduğumuzda şu denklemi elde ederiz:

1 - 2\sin^2(x) = \frac{5}{6} \cdot \sin(x) \cdot \cos(x)
  • \cos(x) ve \sin(x) yerine \tan(x)'i ifade ederek bu denklemi çözelim:

Tanjantın \tan(x) ile ilişkisi:

Değerler hesaplama sonucu şu tanjant değerini verir:

\tan(x) = \frac{3}{4}

Doğru cevap: B şıkkı

Özet Tablo:

Soru Sonuç Cevap
Soru 31 C < B < A E Şıkkı
Soru 32 \tan(x) = \frac{3}{4} B Şıkkı

Eğer başka bir sorunuz varsa çekinmeden sorabilirsiniz! :blush: @RpCasio