Ayt matematik sorusuj

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

20250303_080540
20250303_080540720×960 22.8 KB

2

Sorunun Tam Çözümü ve Analizi

Sorunun konusu: Verilmiş bir polinom türündeki fonksiyonun monotonluk koşullarına göre, m parametresinin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak.

Verilen Fonksiyon

Fonksiyon şu şekilde tanımlanmış:

f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{(m - 2)}{2}x^2 + 4x + m - 2

Verilen Bilgiler

Soruda iki koşul verilmiş:

  1. Eğer x_1 < x_2 ise, f(x_1) < f(x_2) olmalıdır (Strictly monotonik).
  2. Eğer x_1 \neq x_2, o zaman f(x_1) \neq f(x_2) (Fonksiyon bir birim fonksiyon olmalıdır, yani birebir tanımlıdır).

Sonuç olarak, fonksiyonun monoton artan ve tersinir (invertible) bir fonksiyon olması gerekiyor. Bunlar için kritik analizler yapacağız.

1. Adım: Fonksiyonun türevini bulma

Fonksiyonun türevini alarak, monotonluk analizi yapabiliriz. Türevi alırken sabitleri sıfırlıyoruz. Fonksiyonun türevi şu şekilde hesaplanır:

f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - \frac{(m - 2)}{2}x^2 + 4x + m - 2\right)

Türevi alınan ifadeyi parçalara bölelim:

  1. \frac{x^3}{3}'ün türevi: \frac{3x^2}{3} = x^2,
  2. -\frac{(m - 2)}{2}x^2’nin türevi: -2 \cdot \frac{(m - 2)}{2}x = -(m-2)x,
  3. 4x’in türevi: 4,
  4. Sabitin (m - 2) türevi: 0.

Sonuç olarak türev şudur:

f'(x) = x^2 - (m-2)x + 4

2. Adım: Türevin işaret analizi

Bir fonksiyonun monoton artan olabilmesi için türevin her zaman pozitif (f'(x) > 0) olması gerekir.

f'(x) = x^2 - (m-2)x + 4

Bu ifadeyi daha anlaşılır şekilde düzenleyelim:

f'(x) = x^2 - (m-2)x + 4

Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve her zaman pozitif olması için diskriminantının (\Delta) negatif olması gerekir. Diskriminant şu şekilde hesaplanır:

\Delta = b^2 - 4ac

Burada:

  • a = 1 (x²’nin katsayısı),
  • b = -(m-2) (x’in katsayısı),
  • c = 4 (sabit terim).

Diskriminantı yerine yazalım:

\Delta = (-(m-2))^2 - 4(1)(4)

Açılımı yapalım:

\Delta = (m-2)^2 - 16

Bu ifadeyi açtığımızda:

\Delta = m^2 - 4m + 4 - 16
\Delta = m^2 - 4m - 12

3. Adım: Diskriminantın negatif olması

Monotonluk koşulunu sağlamak için şunu sağlamamız gerekiyor:

\Delta = m^2 - 4m - 12 < 0

Bu ifadeyi çözelim. Burada m^2 - 4m - 12 bir ikinci dereceden denklemdir. Bu tür denklemler kökler yöntemiyle çözülebilir.

Diskriminantın köklerini bulalım:

m^2 - 4m - 12 = 0
\Delta_m = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-12)
\Delta_m = 16 + 48
\Delta_m = 64

Kökler şunlardır:

m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta_m}}{2a}

Burada b = -4, a = 1, \Delta_m = 64.

m_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2(1)}
m_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2}

Kökler:

m_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2, \; m_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6

Bu durumda, \Delta < 0 olması için m değeri kökler arasında olmalıdır:

-2 < m < 6

4. Adım: m’nin alabileceği en büyük tam sayı

Buraya kadar yaptığımız analiz sonucunda, m’nin alabileceği en büyük tam sayı değer 6’dır.

Cevap: C) 6

Koşul Analiz Sonucu
Monotonluk için \Delta m^2 - 4m - 12 < 0
Kökler -2 < m < 6
En büyük tam sayı 6

@ahmet_demir1