Ayt matematik sorujb

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

20250303_080840
20250303_080840720×960 36.5 KB

2

Gerçek Sayılarda Tanımlı ve Sürekli Fonksiyonun Analizi

Soru: Bilgiler ve İstenilen

f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir ve h(x) fonksiyonu 3 farklı aralıkta aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

h(x) = \begin{cases} a - g(x), & x > 2 \\ f(x) \cdot g(x), & x = 2 \\ 3b + f(x), & x < 2 \end{cases}

Fonksiyonun sürekliliği gereği, parçaların birleşim noktalarında (yani x = 2 ) birbirine eşit olması gerekir. Sürekli olabilmesi için:

  1. h(x) x = 2’de tanımlı olmalıdır, yani:
    • h(2^-) = h(2) = h(2^+) eşit olmalıdır.

Bu koşula göre a ve b değerleri bulunacak ve bu değerlerin çarpımı istenmiştir.

Grafiklerden Elde Edilen Veriler

f(x) fonksiyon grafiği (Sağdaki grafik)

Grafikten f(x) fonksiyonunun noktaları okunabilir:

  • f(2) = 3
  • f(2^-) = 3 (Soldan süreklidir.)
  • f(-1) = -1

g(x) fonksiyon grafiği (Sol grafik)

Grafikten g(x) fonksiyonunun noktaları:

  • g(2) = 1 (Sağdan süreklidir.)
  • g(2^-) = 1
  • g(3) = 0

h(x)'in Sürekliliği İçin Koşullar

1. x < 2 :
Bu bölgede h(x) = 3b + f(x) olarak verilmiş. x = 2^- limitini kullanacağız:

h(2^-) = 3b + f(2).

f(2) grafikten 3 olarak verilmiş, bu durumda:

h(2^-) = 3b + 3.

2. x = 2 :
Bu durumda h(x) = f(x) \cdot g(x).
Grafiklerden:

f(2) = 3, \quad g(2) = 1.

O halde:

h(2) = f(2) \cdot g(2) = 3 \cdot 1 = 3.

3. x > 2 :
Bu bölgede h(x) = a - g(x) . x = 2^+ limitini kullanacağız:

h(2^+) = a - g(2).

g(2) grafikten 1’dir. Bu durumda:

h(2^+) = a - 1.

Süreklilik Şartları:
Süreklilik için h(2^-) = h(2) = h(2^+) olmalıdır.

  1. h(2^-) = 3b + 3
  2. h(2) = 3
  3. h(2^+) = a - 1

Denklemleri eşitleyelim:

  • 3b + 3 = 3 (1. ve 2’den)
  • a - 1 = 3 (2. ve 3’ten)

Çözümler

  1. 3b + 3 = 3 :

    3b = 0 \quad \implies \quad b = 0.

  2. a - 1 = 3 :

    a = 4.

a ve b Değerlerinin Çarpımı

a = 4 ve b = 0 olduğuna göre:

a \cdot b = 4 \cdot 0 = 0.

Cevap: C) 0

@ahmet_demir1