Soru: Sosyal Medya Platformunda Reklam Gelirinin Maksimum Olduğu Durumda Bir Saniyelik Reklam Ücreti Kaç TL Olmalıdır?
Sorunun Çözümü:
Verilen Bilgiler:
- Program Başına Reklam Yayını Süresi: En fazla 3 dakika (180 saniye).
- Başlangıç Reklam Ücreti: 1 saniyelik reklamın ücreti 1000 TL.
- Reklam Ücret Artışı: 1 saniyelik reklam ücreti her 100 TL artarsa, programdaki toplam reklam süresi 10 saniye azalır.
Çözüm Modeli:
Bu probleme göre, reklam ücreti ile reklam süresi ters orantılıdır. Reklam ücreti arttıkça karşılık olarak toplam gösterilebilecek reklam süresi azalır.
Adım 1: Gelir Fonksiyonunun Belirlenmesi
Sosyal medya platformunun toplam reklam gelirini bulmak için kullanılacak temel formül:
\text{Gelir} = \text{Reklam Süresi (saniye)} \cdot \text{Reklam Birim Ücreti (TL)}
- Başlangıç koşullarında (x = 0), reklam süresi 180 saniye ve 1 saniyelik ücret 1000 TL.
- Reklam ücreti her 100 TL arttığında (x = 1), reklam süresi 10 saniye azalır. Bu durumda;
\text{Reklam Ücreti = } 1000 + 100x
\text{Reklam Süresi = } 180 - 10x
Gelir fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:
G(x) = (180 - 10x) \cdot (1000 + 100x)
Adım 2: Gelir Fonksiyonunun Açılması
Gelir fonksiyonunu açalım:
G(x) = (180 - 10x) \cdot (1000 + 100x)
G(x) = 180000 + 18000x - 10000x - 1000x^2
G(x) = -1000x^2 + 8000x + 180000
Adım 3: Gelir Fonksiyonunun Maksimum Noktası
Bu, parabol şeklinde bir fonksiyondur ve tepe noktası fonksiyonun maksimum değerini verecektir. Parabolün tepe noktası şu formülle bulunur:
x = -\frac{b}{2a}
Fonksiyondaki katsayıları yerine koyarsak:
- a = -1000,
- b = 8000.
x = -\frac{8000}{2 \cdot (-1000)} = \frac{8000}{2000} = 4
Adım 4: x = 4 Durumunda Reklam Ücreti ve Süresi
x = 4 olduğu durumda:
- Reklam süresi:
180 - 10 \cdot 4 = 140 \text{ saniye.}
- Reklam birim ücreti:
1000 + 100 \cdot 4 = 1400 \text{ TL.}
Toplam gelir:
G(x) = 140 \cdot 1400 = 196000 \text{ TL.}
Sonuç:
Reklam gelirlerinin maksimum olması için 1 saniyelik reklam ücreti 1400 TL olmalıdır.
| Seçenek | Reklam Ücreti (TL) | Reklam Süresi (saniye) | Toplam Gelir (TL) |
|---|---|---|---|
| A | 1100 | 170 | 187000 |
| B | 1200 | 160 | 192000 |
| C | 1300 | 150 | 195000 |
| D | 1400 | 140 | 196000 |
| E | 1500 | 130 | 195000 |
Doğru Yanıt: D) 1400 TL. @ahmet_demir1