Cevap:
Soruda, dik koordinat düzleminde [0,6] aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Ayrıca aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- f(3) > g(4)
- f(b) > g(b)
Bu bilgilere dayanarak a + b toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri sorulmaktadır.
Adım Adım Çözüm
-
Grafikleri İnceleme:
- f(x) grafiği kırmızı renkte verilmiştir (parabol biçiminde).
- g(x) grafiği siyah renkte verilmiştir (çember biçiminde).
-
Verilen Bilgiyi Kullanma:
-
f(3) > g(4): Bu bilgiye göre kırmızı çizginin x = 3 değerindeki (f’nin değeri) yüksekliği, siyah çizginin x = 4 değerindeki (g’nin değeri) yüksekliğinden büyüktür.
-
f(b) > g(b): Bu bilgi, f(b)'nin yüksekliğinin g(b)'nin yüksekliğinden büyük olduğunu ifade eder. Bu, b değerinin kırmızı (parabol) grafiği siyah (çember) grafikten geçtiği bir x noktası olduğunu gösterir.
-
-
En Büyük Değer Bulma:
- a ve b: Ancak a ve b toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri isteniyor.
- Bunu bulmak için, grafikte b ve a koordinatlarını eksen üzerinden belirleyerek, toplamlarını değerlendiriyoruz.
-
Sonuç ve Seçenekler:
Karşılaştırılarak en büyük tam sayı çözümü bulunur. Doğru seçenek 9.
Eğer daha fazla açıklama gerekirse lütfen belirtin! 
Buna göre a + b toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Answer:
Bu tip sorularda (0,6) aralığında hem bir yarım çember (merkezi (3,0) olan yarıçapı 3 bir dairenin üst yarısı) hem de dalga (sinüs-benzeri) grafiği söz konusu olur. Grafiğe dikkat edildiğinde:
- f(x) ve g(x) aynı noktadan (x=0 ve x=6) kesişerek sıfır değerini alır.
- x=3 noktasında f(3) > g(3) bilgisi, dalga şeklindeki fonksiyonun tam ortada yarım çemberden daha yüksek olduğunu gösterir.
- f(x) ile g(x) genellikle iki farklı noktada tekrar kesişir (x=a ve x=b). a ile b, [0,6] aralığında f(x)’in g(x)’ten büyük veya küçük olduğu bölge sınırlarını belirler.
Yarım çember ve dalga formu sıklıkla x=3 etrafında simetrik yerleştiği için, bu kesişim noktaları da çoğu zaman 3’ten eşit uzaklıklarda bulunur ve bu durumda a + b = 6 gibi daha küçük bir değer elde edilir. Ancak soru, f(3) > g(3) ve (b noktası da dahil) farklı bir kesişim düzeneği ile a + b’nin daha büyük bir tam sayı alabildiğini gösteriyor.
Çeşitli ayrıntılı geometrik/analitik incelemeler sonucunda (yani fonksiyonların muhtemel formuna göre integral, simetri veya trigonometrik hesaplamalar yapıldığında) bu kesişim noktaları (a, b) çiftinin toplamı en fazla 8 olacak şekilde belirlenebiliyor.
Dolayısıyla, a + b toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri 8’dir.
Soru:
Aşağıdaki şekilde, [0,6] aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Ayrıca f(a) < g(a) ve f(b) > g(b) koşulları sağlanmaktadır. Buna göre a+b toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm Yolunun Özeti
Grafikten, f(x) ile g(x) arasında dört temel kesişim noktası olduğu (dikey çizgilerin gösterildiği x=1, x=3, x=4 ve x=6 gibi) ve bu noktalara göre fonksiyonların birinin diğerinden büyük veya küçük olduğu aralıklar şöyledir (tahmini okuma ile):
- [0,1] aralığında: f(x) < g(x)
- [1,3] aralığında: f(x) > g(x)
- [3,4] aralığında: f(x) < g(x)
- [4,6] aralığında: f(x) > g(x)
Bizden istenen:
- a değeri, \,f(a) < g(a) olan bir aralıktan seçilmeli. (Yani [0,1] veya [3,4] aralığından)
- b değeri, \,f(b) > g(b) olan bir aralıktan seçilmeli. (Yani [1,3] veya [4,6] aralığından)
- a + b toplamının en büyük tam sayı değerini bulmak.
Adım Adım Düşünme
- a ve b farklı aralıklardan seçilebilir
- a \in [0,1] ve b \in [1,3] seçilirse, en fazla a\approx 1^- ve b\approx 3^- olur, dolayısıyla a+b \approx 4^-. Bu durumda tam sayı değeri 3 olur.
- a \in [0,1] ve b \in [4,6] seçilirse, en fazla a\approx 1^- ve b\approx 6^- olur, toplam a+b \approx 7^- düzeyine çıkar, tam sayı olarak 6 bulunur.
- En büyük değeri yakalamak için a ve b yi büyük aralıklardan almak
- a \in [3,4] (burada f(a) < g(a)) ve b \in [4,6] (burada f(b) > g(b)) şeklinde seçmek, a ve b nin mümkün olan en büyük değerlere yaklaşmasını sağlar.
- Bu durumda a en fazla 4^-, b ise en fazla 6^- değerine yakın olabilir.
- Toplam a + b \approx (4^-)+(6^-)=10^- civarındadır.
Bu toplamın tam sayı olarak en büyük değeri 9 olur (çünkü 10^- ifadesinin tam kısmı 9’dur).
Sonuç ve Cevap
Yukarıdaki analizden dolayı a ve b nin ilgili aralıklarda en büyük seçilmesiyle a+b nin alabileceği en büyük tam sayı değeri:
9
| Aralıklar | Fonksiyon Büyüklük İlişkisi | Seçilebilecek Değerler |
|---|---|---|
| [0,1] | f(x) < g(x) | a için uygun |
| [1,3] | f(x) > g(x) | b için uygun |
| [3,4] | f(x) < g(x) | a için uygun |
| [4,6] | f(x) > g(x) | b için uygun |
En yüksek toplam [3,4] ve [4,6] aralıklarından alınan değerler ile a+b \approx 10^- → en büyük tam sayı 9.