Doğru cevap E şıkkı
Cevap Analizi: AYT Matematik Sorusu
Soru:
Fonksiyon verilmiş:
f(x) = \left( \frac{m-n}{t} \right)x^2 - (2m+n)x + k
ve grafik ile ilgili bazı özellikler belirtilmiş. Grafik önce t birim sola kaydırılıyor, ardından x eksenini kesen noktalar ile ilgili hesaplama yapılıyor. m/n oranını bulmamız isteniyor.
Çözüm İçin Adımlar
- Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaların hesaplanması (Köklerin Bulunması)
Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar, f(x)=0 olduğu durumlardır. Bu noktalar için kökleri bulmamız gerekir.
Fonksiyon bir ikinci dereceden denklemdir ve genel formu:
ax^2 + bx + c = 0
Bu tür denklemlerin çözümü kökleri şu şekilde bulunur:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Burada:
- a = \frac{m-n}{t},
- b = -(2m+n),
- c = k.
Fonksiyonun Grafiği t Birim Sola Kaydırma
Grafik kaydırıldığında, yeni fonksiyon g(x) = f(x+t) olacaktır. Bu durumda, fonksiyonun yeni hali:
g(x) = \left( \frac{m-n}{t} \right)(x+t)^2 - (2m+n)(x+t) + k
Bu durumda, yine kökler bulunup x eksenini kestiği noktalar karşılaştırılır.
Köklerin Çarpımı ve İpucu Kullanma
Soruda verilen kritik bilgi:
“Her iki durumda da x eksenini kestiği noktaların apsisler çarpımı eşittir.”
İkinci dereceden bir fonksiyonun kökler çarpımı, sabit terimin (k) katsayıya (a) bölünmesiyle bulunabilir:
\text{Kökler Çarpımı} = \frac{c}{a}
Burada:
- İlk durumda:
\text{Kökler Çarpımı} = \frac{k}{\frac{m-n}{t}}
- Kaydırılmış grafikte de aynı çarpım değeri elde edilir.
Bu bilgiyi kullanarak oranları çözebiliriz.
Sonuç ve m/n Oranı
Hesaplama yapıldığında ve grafik kaydırma etkisi göz önüne alındığında doğru cevap E şıkkı (-2) olarak bulunur.
Cevap:
E) -2
Eğer detaylı bir çözüm gerekiyorsa, daha fazla açıklama yapabilirim; bana bildirmeniz yeterli! 
Soruda verilen fonksiyon:
[ f(x) = \frac{m-n}{t} x^2 - (2m+n)x + k ]
Fonksiyonu, t birim sola kaydırırsak, ( x ) yerine ( x + t ) yazmamız gerekir:
Yani kaydırılmış fonksiyon:
[
g(x) = \frac{m-n}{t} (x+t)^2 - (2m+n)(x+t) + k
]
Her iki fonksiyonun da x eksenini kestiği noktaların çarpımları eşitmiş.
Yani f(x)'in köklerinin çarpımı = g(x)'in köklerinin çarpımı.
Şimdi bu fonksiyonda, bir ikinci dereceden fonksiyonun köklerinin çarpımı
[
c/a
]
ile bulunur. Yani;
Orijinal fonksiyonda:
[
f(x) = \frac{m-n}{t} x^2 - (2m+n)x + k
]
Burada köklerin çarpımı ( \frac{k}{\frac{m-n}{t}} = k \cdot \frac{t}{m-n} )
Kaydırılmış fonksiyonda, köklerin çarpımı ise;
önce fonksiyonu açarak genel forma sokalım:
[
g(x) = \frac{m-n}{t}(x^2 + 2tx + t^2) - (2m+n)(x+t) + k
]
[
= \frac{m-n}{t}x^2 + 2(m-n)x + (m-n)t - (2m+n)x - (2m+n)t + k
]
[
= \frac{m-n}{t}x^2 + (2(m-n) - (2m+n))x + ((m-n)t - (2m+n)t + k)
]
[
= \frac{m-n}{t}x^2 + (2m-2n-2m-n)x + (m-n-2m-n)t + k
]
[
= \frac{m-n}{t}x^2 + (-2n-n)x + ((m-n-2m-n)t) + k
]
[
= \frac{m-n}{t}x^2 + (-n-2n)x + ((m-n-2m-n)t) + k
]
Burada dikkatli olmak gerek, adım adım açalım:
x’in katsayısı:
( 2(m-n) - (2m+n) = 2m - 2n - 2m - n = -2n - n = -3n )
Sabit terim:
[
(m-n)t - (2m+n)t + k = (m-n-2m-n)t + k = (m-n-2m-n)t + k
= (m-n-2m-n)t + k
= (m-n-2m-n)t + k
= (m-2m-n-n)t + k
= (-m-2n)t + k
]
Son haliyle yeni fonksiyon:
[
g(x) = \frac{m-n}{t} x^2 - 3n x + (-m-2n)t + k
]
Köklerin çarpımı: Sabit terim / x²’nin katsayısı:
[
\frac{(-m-2n)t + k}{\frac{m-n}{t}}
= \frac{t((-m-2n)t + k)}{m-n}
]
Şimdi, çarpımlar birbirine eşit olmalı:
[
k \cdot \frac{t}{m-n} = \frac{t((-m-2n)t + k)}{m-n}
]
Her iki tarafın paydası aynı olduğuna göre payları eşitleyebiliriz:
[
k t = t((-m-2n)t + k)
]
[
k t = -m t^2 - 2n t^2 + k t
]
[
k t - k t = -m t^2 - 2n t^2
]
[
0 = -m t^2 - 2n t^2
]
[
0 = -t^2 (m + 2n)
]
Burada ( t > 0 ) olduğundan,
( m + 2n = 0 \implies m = -2n )
Bu istenen (\frac{m}{n}) oranı:
[
\frac{m}{n} = \frac{-2n}{n} = -2
]
Doğru cevap E şıkkı: -2
AYT Matematik Deneme: 32. Soru Çözümü – f(x)=\left(\frac{m-n}{t}\right)x^2-(2m+n)x+k fonksiyonunun kök çarpımı sorusu
Soru Özeti:
Fonksiyon:
f(x) = \left(\frac{m-n}{t}\right) x^2 - (2m+n)x + k
Bu fonksiyon çizildikten sonra, grafik t birim sola kaydırılıyor (yani x yerine x+t yazılıyor). Her iki grafikte de x eksenini kestiği noktaların apsislerinin çarpımı eşit oluyor. Buna göre \frac{m}{n} oranı isteniyor.
1. Fonksiyonun Köklerinin Çarpımı
Genel olarak ax^2 + bx + c formunda bir fonksiyonun köklerinin çarpımı:
\text{kök çarpımı} = \frac{c}{a}
Yani f(x) için:
a = \frac{m-n}{t},\quad c = k
Köklerin çarpımı:
P_1 = \frac{k}{\frac{m-n}{t}} = \frac{kt}{m-n}
2. Fonksiyonun t birim sola kaymış hali
Grafiği t birim sola kaydırmak demek, x gördüğümüz yere x + t yazmak:
f(x+t) = \left(\frac{m-n}{t}\right)(x+t)^2 - (2m+n)(x+t) + k
(x+t)^2 = x^2+2tx+t^2
Açarsak:
f(x+t) = \left(\frac{m-n}{t}\right)(x^2+2tx+t^2) - (2m+n)(x+t) + k \\
= \left(\frac{m-n}{t}\right)x^2 + 2(m-n)x + (m-n)t - (2m+n)x - (2m+n)t + k
Şimdi düzenleyelim:
- $x^2$’li terim: \left(\frac{m-n}{t}\right)x^2
- $x$’li terimler: 2(m-n)x - (2m+n)x = (2m-2n-2m-n)x = (-2n-n)x = -n x
- Sabit terimler: (m-n)t - (2m+n)t + k
Bunu yanlış hesaplamayalım:
- 2(m-n) = 2m-2n
- - (2m+n) = -2m-n
Toplayalım:
2m-2n -2m-n = -2n-n = -3n
Dolayısıyla x’li terim: -3n x
Sabit terim:
(m-n)t - (2m+n)t + k = m t - n t - 2 m t - n t + k = (m t - 2 m t) + (-n t - n t) + k = -m t - 2 n t + k
Toplarsak, kaydırıldıktan sonraki fonksiyon:
f(x+t) = \left(\frac{m-n}{t}\right) x^2 - 3n x + ( - m t - 2 n t + k )
Bu fonksiyonun köklerinin çarpımı ise:
a' = \frac{m-n}{t}, \quad c' = -m t - 2 n t + k
Köklerin çarpımı:
P_2 = \frac{c'}{a'} = \frac{ - m t - 2 n t + k }{ \frac{m-n}{t} } = \frac{ - m t - 2 n t + k }{ m-n } t
3. Kök Çarpımlarını Eşitle
İlk fonksiyonda P_1 = \frac{k t}{m-n}
İkincisinde P_2 = \frac{ - m t^2 - 2 n t^2 + k t }{ m-n }
Kök çarpımları eşit olduğuna göre:
\frac{k t}{m-n} = \frac{-m t^2 - 2 n t^2 + k t}{m-n}
Paydalar aynı, sadeleştir:
k t = -m t^2 - 2n t^2 + k t
$k t$’ler sadeleşir:
0 = -m t^2 - 2 n t^2
0 = -t^2( m + 2n )
t > 0 olduğuna göre, t^2 \neq 0:
m + 2n = 0 \implies m = -2n
Sorunun istediği oran:
\frac{m}{n} = \frac{-2n}{n} = -2
Cevap:
\boxed{-2} (E şıkkı)
Önemli Noktalar:
- f(x) fonksiyonunun kök çarpımı \frac{c}{a} formülünden,
- Sol kaydırmak x \rightarrow x + t demektir,
- Kök çarpımları eşitlendiğinde sabit terimler birbirine eşitlenerek oran bulunur.
AYT Matematik Deneme Sınavı – 7, Soru 32
Soru:
Bir öğrenci, t > 0 ve m \neq n için
f(x) = \left(\frac{m - n}{t}\right)x^2 - (2m + n)x + k
fonksiyonunun grafiğini koordinat düzleminde çiziyor. Daha sonra grafiği t birim sola kaydırarak yeni bir fonksiyon elde ediyor. Her iki durumda da elde edilen fonksiyon grafiklerinin x -eksenini kestiği noktaların apsisler çarpımının aynı olduğunu (eşit olduğunu) tespit ediyor.
Buna göre \frac{m}{n} oranı kaçtır?
A) 2 B) 3/2 C) 1 D) –1 E) –2
Doğru Cevap: E) –2
Çözümün Özeti ve Temel Adımlar:
-
Orijinal Fonksiyonun Katsayıları ve Kök Çarpımı
• Soruda verilen fonksiyon:f(x) \;=\; \underbrace{\tfrac{m-n}{t}}_{\text{a}}\,x^2 \;-\; (2m+n)\,x \;+\; k.• Bir ikinci dereceden (kuadratik) denklemin köklerinin çarpımı, \tfrac{c}{a} formülüne eşittir. Burada:
- a = \tfrac{m-n}{t},
- b = -(2m + n),
- c = k.
• Orijinal fonksiyondaki kök çarpımı:
r_1 \cdot r_2 \;=\; \frac{c}{a} \;=\; \frac{k}{\tfrac{m-n}{t}} \;=\; \frac{k\,t}{m-n}. -
Grafiğin t Birim Sola Kaydırılması
• Yeni fonksiyon g(x) = f(x + t) ile elde edilir:g(x) \;=\; \left(\frac{m-n}{t}\right)\,(x + t)^2 \;-\;(2m + n)\,(x + t) \;+\; k.• Açılım yapıldığında, g(x) in katsayıları şu şekilde bulunur:
- x^2 in katsayısı yine \frac{m - n}{t}.
- x in katsayısı:2\,(m-n) \;-\; (2m + n) \;=\; 2m - 2n - 2m - n \;=\; -3n.
- Sabit terim:\bigl((m-n)/t\bigr)\,t^2 \;-\; (2m + n)\,t \;+\; k \;=\; (m-n)\,t \;-\; (2m + n)\,t \;+\; k \;=\; \bigl((m-n)-(2m + n)\bigr)\,t + k \;=\; -(m + 2n)\,t + k.
Dolayısıyla
g(x) \;=\; \left(\frac{m-n}{t}\right) x^2 \;-\; 3n\,x \;+\; \bigl(- (m + 2n)\,t + k\bigr). -
Kaydırılmış Fonksiyonun Kök Çarpımı
• Yine ikinci dereceden denklemde kök çarpımı \tfrac{\text{(sabit terim)}}{\text{(x² katsayısı)}} şeklinde hesaplanır. Buna göre:s_1 \cdot s_2 \;=\; \frac{- (m + 2n)\,t + k}{\tfrac{m-n}{t}} \;=\; \bigl(- (m + 2n)\,t + k\bigr)\,\frac{t}{m-n}. -
Kök Çarpımlarının Eşitliği Şartı
• Soruya göre, iki fonksiyonun x-kökleri çarpımı eşittir:\frac{k\,t}{m-n} \;=\; \left(- (m + 2n)\,t + k\right)\,\frac{t}{m-n}.• Denklemin her iki tarafında \frac{t}{m-n} ortak olduğundan sadeleştirdiğimizde kalır:
k \;=\; - (m + 2n)\,t + k.• k ler birbirini götürür:
0 \;=\; - (m + 2n)\,t \quad\Longrightarrow\quad (m + 2n)\,t \;=\; 0.• \,t > 0 olduğundan geriye \,m + 2n = 0 kalır. Bu da
m = -2n \quad\Longrightarrow\quad \frac{m}{n} = -2.• Böylece \tfrac{m}{n} = -2 bulunur.
Sonuç:
Yukarıdaki şartlar sağlandığında, \frac{m}{n} oranının -2 olması gerektiği bulunur. Dolayısıyla doğru cevap E) –2 şıkkıdır.