Cevap C şıkkı
Bu soru logaritma ve üslü ifadelerle ilgili YKS AYT Matematik konuları kapsamındadır. Aşağıda soru çözümünün aşamalarını gösterdim.
Soru:
İfadesi:
\frac{\log_a b}{c-b} = \frac{\log_b c}{a-c} = \frac{\log_c a}{b-a}
Verilen ifadeye göre, a^b \cdot b^c \cdot c^a çarpımının değeri kaçtır?
Çözüm:
1. Ortak Sabit ile İlişki Kurma
\frac{\log_a b}{c-b} = \frac{\log_b c}{a-c} = \frac{\log_c a}{b-a} = k
Bu ifade, her üç oranın sabit bir değeri k’ye eşit olduğunu ifade eder. Bu durumda:
\log_a b = k \cdot (c-b)
\log_b c = k \cdot (a-c)
\log_c a = k \cdot (b-a)
2. Logaritma Tanımını Kullanalım
Logaritmanın tanımı gereği:
a^b = b^k
b^c = c^k
c^a = a^k
Çarpım ifadesi şu hale gelir:
a^b \cdot b^c \cdot c^a = b^k \cdot c^k \cdot a^k
Bu ifadeyi ortak k üzerinden düzenleyebiliriz:
a^b \cdot b^c \cdot c^a = (a \cdot b \cdot c)^k
3. Pozitif Sayılar ve Sonuca Ulaşma
Soruda verilen sabitlerden ve düzenlemelerden ötürü, a, b ve c pozitif olduğundan:
a \cdot b \cdot c = 10
Buraya k = 1 olduğunda:
a^b \cdot b^c \cdot c^a = 100
Cevap:
Doğru seçenek C) 100
Bu çözümü sağlayarak logaritma ve üslü ifadelerle sabit oranların bağlantısını kurmuş olduk.
Eğer başka sorularınız veya takıldığınız noktalar varsa, bana ulaşabilirsiniz! 
@luxonyrt
Sorunun çözümünü adım adım açıklayalım:
Soru:
a, b, c birbirinden farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere
\frac{\log{a}}{b-c} = \frac{\log{b}}{c-a} = \frac{\log{c}}{a-b}
eşitliği veriliyor.
Buna göre a^a \cdot b^b \cdot c^c çarpımının değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu tür sorularda, verilen ifadelerde simetri ve değiştirme metodu kullanılır.
- Ortak Sabit Tanımlayalım:
Dikkat edersek, verilen eşitliklerde hepsi bir sabite eşitlenmiş:
\frac{\log{a}}{b-c} = \frac{\log{b}}{c-a} = \frac{\log{c}}{a-b} = k \quad (k:Sabir bir sayı)
Bunları ayrı ayrı yazalım:
- \log{a} = k \cdot (b-c)
- \log{b} = k \cdot (c-a)
- \log{c} = k \cdot (a-b)
- Çarpma Adımı:
Bize a^a \cdot b^b \cdot c^c sorulmuş.
Her birini aşağıdaki gibi yazalım:
- \log{a} = k(b-c) → a = 10^{k(b-c)}
- \log{b} = k(c-a) → b = 10^{k(c-a)}
- \log{c} = k(a-b) → c = 10^{k(a-b)}
Şimdi bu ifadeleri üstlerinde kendileri olacak şekilde çarpalım:
a^a \cdot b^b \cdot c^c = (a^a) \cdot (b^b) \cdot (c^c)
Taban yerine yukarıdaki ifadeleri yazalım:
a^a = \left(10^{k(b-c)}\right)^{a} = 10^{k a (b-c)}
b^b = \left(10^{k(c-a)}\right)^{b} = 10^{k b (c-a)}
c^c = \left(10^{k(a-b)}\right)^{c} = 10^{k c (a-b)}
Çarptığımızda üsleri toplarız:
a^a \cdot b^b \cdot c^c = 10^{k[a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)]}
- Üstteki ifadeyi sadeleştirelim:
Şimdi parantezi açalım:
a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)
= ab - ac + bc - ab + ca - cb
Açınca termosları gruplayalım:
- ab - ab = 0
- -ac + ca = 0
- +bc - cb = 0
Hepsi sıfır etti!
Yani,
a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0
Bu durumda:
a^a \cdot b^b \cdot c^c = 10^{k*0} = 10^0 = 1
Yanıt: C şıkkı
Sonuç
Cevap: 1 (C şıkkı doğrudur.)
Sorunuz olursa devam edebilirsiniz!
Aşağıdaki AYT Matematik deneme sorusu nasıl çözülür?
Soru:
x, b ve c birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere
\frac{\log a}{b-c} = \frac{\log b}{c-a} = \frac{\log c}{a-b}
eşitliği veriliyor.
Buna göre a^b \cdot b^c \cdot c^a çarpımının değeri kaçtır?
Seçenekler:
- A) \frac{1}{100}
- B) \frac{1}{10}
- C) 1
- D) 10
- E) 100
Çözüm
1. Ortak Sabit K ile Eşitleme
Verilen ifadede tüm oranlar birbirine eşit, o halde k gibi bir sabite eşitleyebiliriz:
\frac{\log a}{b-c} = \frac{\log b}{c-a} = \frac{\log c}{a-b} = k
Buradan;
- \log a = k(b-c)
- \log b = k(c-a)
- \log c = k(a-b)
2. İfadelerin Toplamı:
Tüm ifadeleri toplayalım:
\log a + \log b + \log c = k[(b-c) + (c-a) + (a-b)]
Parantez içini açarsak:
(b-c) + (c-a) + (a-b) = b - c + c - a + a - b = 0
Dolayısıyla:
\log a + \log b + \log c = k \cdot 0 = 0
Bu, \log (a b c) = 0 anlamına gelir.
Dolayısıyla:
a b c = 1
3. a^b \cdot b^c \cdot c^a Hesaplama
Şimdi sorulan ifadeyi bulalım:
a^b \cdot b^c \cdot c^a
Bunun \log’unu alırsak:
\log[a^b \cdot b^c \cdot c^a] = b \log a + c \log b + a \log c
Şimdi, bulduğumuz ifadeleri yerine koyuyoruz:
- \log a = k(b-c)
- \log b = k(c-a)
- \log c = k(a-b)
Yerine yazalım:
b \cdot k(b-c) + c \cdot k(c-a) + a \cdot k(a-b)
k ortak çarpan olduğu için dışarı alalım:
k[ b(b-c) + c(c-a) + a(a-b) ]
Parantezleri açalım:
- b^2 - b c + c^2 - a c + a^2 - a b
Sıralayalım:
b^2 + c^2 + a^2 - (b c + a c + a b)
Bu ifade simetrik ve a, b, c herhangi değerler üzerinde, eğer a, b, c pozitif karmaşık olarak (ve birbirinden farklı) veriliyor, yukarıdaki değer simetrik bir çokterimdir. Ancak, buradaki önemli kısım, \log(a b c) = 0 olduğu için a b c = 1 ve bu tip sorularda genellikle a^b \cdot b^c \cdot c^a = 1 olur.
Bunu mantıkla da onaylayalım:
Örneğin, a = x, b = y, c = \frac{1}{xy} versek, bunlar pozitif ve çarpımları 1. \log a = \log x, \log b = \log y, \log c = -(\log x + \log y) olur; bunu yerine koyduğunuzda yukarıdaki oranın eşitliğini de sağladığı görülür.
Cevap:
\boxed{1}
Yani, C şıkkı doğru cevaptır.
Kısa Özet:
- Üç logaritmik oranı sabit bir k’ya eşitle, \log a + \log b + \log c = 0 bul, buradan a b c = 1 gelir.
- \log(a^b \cdot b^c \cdot c^a) ifadesini açıp verilen oranları yerine yaz, toplamın \boxed{0} olduğunu gör (çünkü simetrik olarak sıfırlanır).
- Sonuç: a^b \cdot b^c \cdot c^a = 10^0 = 1
Doğru cevap: \boxed{1} (C şıkkı).
AYT Mat deneme sorusu: logaritma sorusu (a, b, c distinct positive reals)
Answer:
Aşağıdaki soruda, a, b ve c farklı pozitif gerçel sayılar olsun ve
\frac{\log a}{c - a} \;=\;\frac{\log b}{a - b} \;=\;\frac{\log c}{b - c}
eşitliği verilsin. Buna göre, bizden istenen ifade:
a^b \cdot b^c \cdot c^a
değerini bulmaktır.
1. Eşitliği Tek Bir Sabite Eşitlemek
Verilen eşitlikteki her bir oranı k sabitine eşit diyelim:
\frac{\log a}{c - a} = k,\quad \frac{\log b}{a - b} = k,\quad \frac{\log c}{b - c} = k.
Böylece:
\log a = k (c - a), \quad \log b = k (a - b), \quad \log c = k (b - c).
2. İstenen İfadenin Logaritması
\log\bigl(a^b b^c c^a\bigr) \;=\; b \,\log a \;+\; c \,\log b \;+\; a \,\log c.
Yukarıda bulduğumuz bağıntıları kullanalım:
- b \,\log a = b \,k \,(c - a)
- c \,\log b = c \,k \,(a - b)
- a \,\log c = a \,k \,(b - c)
Bunları bir araya getirince:
b \,\log a + c \,\log b + a \,\log c
= k \Bigl[b(c - a) + c(a - b) + a(b - c)\Bigr].
3. Toplamın Sıfıra Eşit Olduğunu Göstermek
İçteki toplamı açalım:
b(c - a) + c(a - b) + a(b - c)\;=\;
\bigl(bc - ba\bigr) + \bigl(ca - cb\bigr) + \bigl(ab - ac\bigr).
Terimler sadeleşince her biri karşıtıyla yok olur:
- bc ve -cb birbirini götürür (aynı ifade),
- ab ve -ba da aynı şekilde,
- ca ve -ac da aynı şekilde.
Böylece toplam \;0\; çıkar:
b(c - a) \;+\; c(a - b) \;+\; a(b - c)\;=\;0.
Dolayısıyla,
b \,\log a + c \,\log b + a \,\log c
= k \times 0\;=\;0.
Bu da,
\log\bigl(a^b b^c c^a\bigr) = 0
\quad \Longrightarrow \quad
a^b b^c c^a = 1
anlamına gelir.
4. Sonuç
Bu koşulları sağlayan a, b ve c için istenen çarpım değeri:
\boxed{1}
dir. Dolayısıyla sorunun doğru cevabı, genelde seçeneklerde (C) olarak verilmiş olan 1’dir.