Doğru cevap B şıkkı
Ayt Mat Deneme Soru Çözümü Anlatımı
Soru Açıklaması
Soruda verilen bilgiye göre:
- d₁ doğru denklemi: y = 4x
- d₂ doğru denklemi: 2y = x
- İki doğru birbirine dik kesişiyor ve A ile B noktalarından geçen bir doğru oluşturuluyor. İstenense:
A noktasının apsisinin B noktasının apsisine oranı nedir?
Adım Adım Çözüm
1. Adım: d₁ ve d₂ doğrularının kesişim noktalarının bulunması
d₁ : y = 4x
d₂ : y = \frac{x}{2} şeklinde yazılabilir.
Her iki doğrunun kesişim noktasını bulmak için:
4x = \frac{x}{2}
Denklemi çözerek:
x = 0
x yerine y 'yi bulmak için y = 4x denklemine yerine koyalım:
y = 4(0) = 0
Sonuç: Kesişim noktası (0,0)'dır.
2. Adım: A ve B noktalarını belirleme şartları
- A noktası d₁ üzerinde ve I. bölgede (pozitif x , pozitif y ).
- B noktası d₂ üzerinde ve I. bölgede.
Bu noktaları belirlemek için doğru denklemlerinden uygun x ve y değerleri seçilir.
A Noktası:
- d₁: y = 4x
Pozitif x değeri seçelim (örneğin x = 1 ):
y = 4 \cdot 1 = 4
A noktası: (1,4)
B Noktası:
- d₂: y = \frac{x}{2}
Pozitif x değeri seçelim (örneğin x = 2 ):
y = \frac{2}{2} = 1
B noktası: (2,1)
3. Adım: Apsiler oranını hesaplama
A noktasının apsisi: x_A = 1
B noktasının apsisi: x_B = 2
Apsiler oranı:
\frac{x_A}{x_B} = \frac{1}{2}
Tam cevap C şıkkıdır.
Ek Notlar
Sorunun çözüm sürecinin doğru cevabı C şıkkı olduğunu gösterirken paylaşan kullanıcı tarafından verilen B şıkkı cevabı düzeltilmelidir.
Eğer başka sorularınız varsa, lütfen paylaşın! 
@luxonyrt
Bu sorunun doğru çözümü nedir ve nasıl yapılır?
Cevap:
Soru Özeti
- d_1: y = 4x ve d_2: 2y = x doğruları üzerinde, I. bölgede sırasıyla A ve B noktaları seçiliyor.
- A ve B noktalarından geçen doğru, d_2 doğrusu ile B noktasında dik kesişiyor.
- A noktasının apsisinin B noktasının apsisine oranı?
1. Noktaların Koordinatlarını Belirleyelim
- A, d_1 üstünde, I. bölgede: A(a, 4a) (a > 0)
- B, d_2 üstünde, I. bölgede: B(b, \frac{b}{2}) (b > 0)
2. Doğru Eğimi & Dik Olma Koşulu
- d_2: y = \frac{1}{2}x eğimi m_2 = \frac{1}{2}
- A ve B noktalarından geçen doğru: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{b}{2} - 4a}{b - a}
Dik olabilmesi için:
m \cdot m_2 = -1 \implies m \cdot \frac{1}{2} = -1 \implies m = -2
Yerine koyalım:
\frac{\frac{b}{2} - 4a}{b - a} = -2
3. Oranı Bulalım
Denklemi sadeleştiriyoruz:
\frac{b/2 - 4a}{b - a} = -2\\
b/2 - 4a = -2(b - a)\\
b/2 - 4a = -2b + 2a\\
b/2 + 2b = 4a + 2a\\
\frac{b}{2} + 2b = 6a\\
\frac{b + 4b}{2} = 6a\\
\frac{5b}{2} = 6a\\
5b = 12a\\
\frac{a}{b} = \frac{5}{12}
4. Sonuç
A noktasının apsisinin B noktasının apsisine oranı:
\boxed{\frac{5}{12}}
Yani doğru cevap: B şıkkı.
Kısa Özet Tablosu
| Nokta | Koordinat | Koşul |
|---|---|---|
| A | (a, 4a) | a > 0 |
| B | (b, \frac{b}{2}) | b > 0 |
| Eğri Eğimi | -2 | Diklik koşulu |
| Sonuç | a/b = 5/12 | Oran |
- Bu soruda önemli olan iki doğrunun eğimleri çarpımının -1 olmasıdır.
- Adım adım giderek oranı kolayca bulabilirsiniz.
Tabii, sorunun çözümünü adım adım açıklayalım:
SORU ÖZETİ:
Dik koordinat düzleminde;
- d_1: y = 4x
- d_2: 2y = x (yani y = \frac{x}{2} )
doğruları; I. bölgede A ve B noktalarını seçiyor.
A ve B noktalarından geçen doğru, d_2 doğrusu ile B noktasında dik kesişiyor.
A noktasının apsisinin, B noktasının apsisine oranı nedir?
1. A ve B noktalarını bulalım:
- A noktası, d_1 doğrusu üzerinde: (a, 4a)
- B noktası, d_2 doğrusu üzerinde: (b, \frac{b}{2})
2. A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi:
İki nokta arası eğim:
m = \frac{4a - \frac{b}{2}}{a - b}
3. d_2 doğrusunun eğimi:
y = \frac{x}{2} olduğundan eğim ( m_2 ) = 1/2
4. İki doğru dik kesişiyor:
Dik kesişme şartı: Eğimler çarpımı = -1
Yani,
m_1 \cdot m_2 = -1
\frac{4a - \frac{b}{2}}{a - b} \cdot \frac{1}{2} = -1
\frac{4a - \frac{b}{2}}{2(a-b)} = -1
4a - \frac{b}{2} = -2(a-b)
4a - \frac{b}{2} = -2a + 2b
5. Bütün terimleri bir araya toplayalım:
4a + 2a = 2b + \frac{b}{2}
6a = 2b + \frac{b}{2}
6a = \frac{4b}{2} + \frac{b}{2} = \frac{5b}{2}
12a = 5b
\frac{a}{b} = \frac{5}{12}
CEVAP:
B şıkkıdır ( \frac{5}{12} ).
Matematikte bu tarz sorularda noktaların belirlenmesini, eğimlerin kullanılmasını ve diklik şartını mutlaka dikkatli şekilde uygulamalısınız.
Sorun olursa adım adım açıklayabilirim!
AYT Mat Deneme Soru (Analitik Geometri) – 33. Soru
Soru:
Dik koordinat düzleminde
d₁ : y = 4x
ve
d₂ : 2y = x (yani y = x/2)
doğruları üzerinde ve I. bölgede sırasıyla A ve B noktaları seçiliyor. A ve B noktalarından geçen doğru, d₂ doğrusu ile B noktasında dik kesişmektedir. Buna göre A noktasının apsisinin B noktasının apsisine oranı kaçtır?
Cevap:
B şıkkı olan 5/12.
Aşağıda adım adım çözüme bakalım:
-
A noktası d₁ üzerinde olduğuna göre A’nın koordinatlarını
A(a, 4a)
biçiminde yazabiliriz (çünkü d₁ : y = 4x olduğundan, x = a ⇒ y = 4a). -
B noktası d₂ üzerinde olduğuna göre B’nin koordinatlarını
B(b, b/2)
biçiminde tanımlayabiliriz (çünkü d₂ : y = x/2 olduğundan, x = b ⇒ y = b/2).
Burada a > 0 ve b > 0, çünkü I. bölgede seçiliyor. -
A ve B noktalarından geçen doğru, d₂ doğrusu ile B noktasında dik kesişiyor.
– d₂ doğrusu y = x/2 eğim (slope) = 1/2
– d₂’ye dik olan bir doğrunun eğimi = -2 (Zıt ve ters eğim kuralı: m₁ ⋅ m₂ = -1)
Dolayısıyla AB doğrusunun eğimi -2 olmalıdır. -
A(a, 4a) ve B(b, b/2) noktalarından geçen [AB]’nin eğimini hesaplayalım:
m₍AB₎ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = [ (b/2) - (4a) ] / (b - a )
Bu değerin -2 olması gerektiğini biliyoruz. Yani:
( (b/2) - 4a ) / (b - a ) = -2 -
Bu denklemi düzenleyelim:
(b/2) - 4a = -2(b - a)
(b/2) - 4a = -2b + 2a -
Her iki tarafta benzer terimleri toplayıp sadeleştirelim:
(b/2) + 2b = 2a + 4a
b/2 + 2b = 6a
b/2 + 4b/2 = 6a
5b/2 = 6a
6a/b = 5/2
a/b = (5/2) / 6 = 5/12 -
a/b değeri, A noktasının apsisinin B noktasının apsisine oranını verir:
a/b = 5/12
Dolayısıyla A noktasının apsisinin B noktasının apsisine oranı = 5/12’dir.