Sorunun Analizi ve Çözümü
Sorunuzda verilen adımlarla ilgili detaylı bir analizi aşağıda yapacağız:
Elimizdeki başlangıç noktası: A (m, n).
Soru, bu noktaya sırayla aşağıdaki işlemlerin yapılacağını belirtiyor:
Aşama 1: Saat yönünde 90° döndürme
Bir nokta saat yönünde 90° döndürüldüğünde, yeni koordinatları şu şekilde değişir:
Bu durumda A (m, n) noktasını döndürdüğümüzde, yeni nokta:
Aşama 2: Öteleme
Yeni oluşturulan A’ (n, -m) noktası şu şekilde öteleniyor:
- x ekseninde negatif yönde 3 birim → x koordinatı n - 3 olur.
- y ekseninde pozitif yönde 3 birim → y koordinatı -m + 3 olur.
Bu işlem sonucunda elde edilen nokta:
Aşama 3: y = -x doğrusuna göre simetri
Bir nokta y = -x doğrusuna göre simetri alındığında, koordinatları değişir:
Bu durumda A’’ (n - 3, -m + 3) noktasının simetrisinin koordinatları:
Sonuç: Ekranda görülen nokta
Son durumda, bilgisayar ekranında görülen noktanın koordinatları olduğu belirtilmiş:
Bu durumda elde edilen koordinat ile eşitlikleri karşılaştırabiliriz:
- x koordinatı: m - 3 = 2n
- y koordinatı: -n + 3 = -m
Eşitliklerden İlişkiler
-
m - 3 = 2n eşitliğini düzenlersek:
m = 2n + 3 -
-n + 3 = -m eşitliğini düzenlersek:
m = n - 3
Bu iki ifadeyi eşitleyelim:
Buradan, n değerini bulalım:
Bulduğumuz n değerini m = n - 3 denklemine yerleştirelim:
n - m farkı
Son olarak, n - m farkını hesaplıyoruz:
Doğru Yanıt: E) 3
Soru çözümünde takip ettiğimiz tüm adımları dikkatlice kontrol ederek doğru cevabı belirledik. Eğer başka sorularınız varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
Bir bilgisayar programına girilen A(m, n) noktasına dönüşme, öteleme ve simetri komutları uygulandığında n - m farkı kaç olur?
Soru Özeti:
Aşağıdaki işlemler sırasıyla A(m, n) noktasına uygulanıyor:
- Saat yönünde 90° döndürme
- x ekseninde -3, y ekseninde +3 birim öteleme
- y = -x doğrusuna göre simetri
Son noktadan A(2n, -m) = (x’, y’) elde ediliyor. n - m değeri nedir?
Adım Adım Çözüm
1. Saat Yönünde 90° Döndürme
Bir nokta A(m, n), saat yönünde 90° dönerse yeni koordinat:
- (m, n) \rightarrow (n, -m)
2. Öteleme
- x ekseninde negatif yönde 3 birim: x - 3
- y ekseninde pozitif yönde 3 birim: y + 3
Elde edilen yeni nokta:
- (n, -m) \rightarrow (n - 3, -m + 3)
3. y = -x Doğrusuna Göre Simetri
Bir noktanın y = -x doğrusuna göre simetriği şu şekilde alınır:
- (a, b) \rightarrow (-b, -a)
Yani:
- (n - 3, -m + 3) \rightarrow (-( -m + 3), -(n - 3))
- (n - 3, -m + 3) \rightarrow (m - 3, -n + 3)
Sonuç Noktası:
(m - 3, -n + 3)
Verilen Koşul
Elde edilen nokta A(2n, -m) yani (2n, -m) olarak görünüyor.
Eşitlik kurarsak:
- m - 3 = 2n
- -n + 3 = -m
İkinci denklemden devam edelim:
Birinci denklemde yerine yazalım:
m’yi bulalım:
n - m = ?
Yanıt ve Özet Tablosu
| Adım | Nokta |
|---|---|
| Başlangıç | (m, n) |
| Saat yönünde 90° döndürme | (n, -m) |
| Öteleme | (n-3, -m+3) |
| $y = -x$’e göre simetri | (m-3, -n+3) |
| Son istenen değer | A(2n, -m) |
Doğru seçenek: E) 3
Açıklama
Bu tip analitik geometri sorularında her adımı dikkatli yazılı takip etmek, işlemlerde hata yapılmasını engeller. Dönüşüm, öteleme ve simetri işlemlerinin temel kurallarını öğrenmek ise benzer soruların çözümünü kolaylaştıracaktır.
Cevap:
n - m = 3
Bu soru zorlayıcı görünebilir, adım adım gidelim:
Soru Özeti:
Başlangıçta A(m, n) noktası var. Bu noktaya sırasıyla 3 işlem uygulanıyor:
- Saat yönünde 90° döndürme
- X ekseninde -3, Y ekseninde +3 öteleniyor
- y = -x doğrusuna göre simetri
Ve sonra, ulaşılan noktanın koordinatları A(2n, -m) olmuş. Soru: n - m kaçtır?
Adım 1: 90° Saat Yönünde Döndürme
Bir noktayı saat yönünde 90° döndürürsek:
Yani:
Adım 2: Öteleme (x’te -3, y’de +3)
Yani:
Adım 3: y = -x Doğrusuna Göre Simetri
Yani:
Açalım:
- x: m-3
- y: -( n-3 )) = -n + 3
Sonuçta Elde Edilen Nokta
Elde edilen nokta: (m-3 , -n+3)
Soru diyor ki:
Son durumda bu nokta A(2n, -m) olmuş.
Yani:
Şimdi her koordinatı eşitleyelim:
- m-3 = 2n → m = 2n + 3
- -n+3 = -m → n-3 = m
İkinciyi düzenleyelim:
Bu iki denklemi birlikte çözelim:
- m = 2n + 3
- m = n - 3
O zaman:
Buradan m’yi bulalım:
Şimdi n - m bulalım:
Cevap:
E) 3
Anlamadığın kısmı veya başka bir adımı tekrar sorabilirsin!
Bir bilgisayar programına girilen A(m,n) noktasına uygulanan dönüşümler sorusu
Answer:
Bu soruda A(m, n) noktası sırasıyla
- Saat yönünde 90° döndürülüyor,
- x ekseninde −3 birim, y ekseninde +3 birim öteleniyor,
- Elde edilen nokta y = −x doğrusuna göre simetriye alınıyor.
Son durumda noktayı A(2n, −m) şeklinde verdiklerine göre, bizden n − m farkını bulmamız isteniyor. Aşamaları tek tek inceleyelim:
- Saat Yönünde 90° Döndürme
Saat yönünde 90° döndürülmüş nokta için genel dönüşüm kuralı şöyledir:
(x, y) → (y, −x).
Dolayısıyla A(m, n) → (n, −m).
- Öteleme
Yeni noktamız (n, −m). Bunu x ekseninde −3 ve y ekseninde +3 ötelersek:
• x: n − 3
• y: (−m) + 3 = −m + 3
Bu aşamanın sonunda nokta (n − 3, −m + 3) olur.
- y = −x Doğrusuna Göre Simetri
Bir (u, v) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği (−v, −u) olarak verilir.
Burada (u, v) = (n − 3, −m + 3). Dolayısıyla simetri sonucu:
(n − 3, −m + 3) → (−(−m + 3), −(n − 3)) = (m − 3, −n + 3).
Yani son nokta (m − 3, −n + 3) haline gelir.
- Sonucun (2n, −m) Olması
Soruya göre son nokta (2n, −m) olarak verilmiştir. Yani:
m − 3 = 2n … (1)
−n + 3 = −m … (2)
(2) eşitliğini düzenleyelim:
−n + 3 = −m
Her iki tarafı −1 ile çarparak:
n − 3 = m … (2’)
(1) numaralı denklem:
m − 3 = 2n
m yerine (2’)’deki ifadesini yazarsak:
(n − 3) − 3 = 2n
n − 6 = 2n
−6 = 2n − n
n = −6
Ardından (2’)’ye göre:
m = n − 3 = (−6) − 3 = −9
Böylece n = −6 ve m = −9 bulunur.
İstenen fark:
n − m = (−6) − (−9) = −6 + 9 = 3.
Dolayısıyla doğru yanıt 3’tür.