Aysegül'ün ekim ayı boyunca okuduğu kitaplar ile i

YKS TYT
1

Aysegül’ün ekim ayı boyunca okuduğu kitaplar ile ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir. 2 tane kitap okumuştur. 2. okuduğu kitabın sayfa sayısı, ilk okuduğu kitabın sayfa sayısından 80 fazladır. • Ayşegül’ün okuduğu toplam sayfa sayısı; 40 sayfa eksik olsaydı toplam sayfa sayısını 3 ve 5 ile ters orantılı, 30 sayfa fazla olsaydı toplam sayfa sayısını 2 ve 7 ile ters orantilı olacak biçimde bölümlere ayirabilecekti. herhangi birinin sayfa sayısı dört basamaklı bir doğal Ayşegül’ün ekim ayı içinde okuduğu kitaplardan sayıdır. Buna göre, kitaplardan biri en az kaç sayfadır? A) 1016 B) 1025 C) 1032 D) 1035 E) 1042

!Resim [Link Silindi]

2

Ayşegül’ün Okuduğu Kitaplardan Biri En Az Kaç Sayfadır?

Önemli Noktalar

  • Birinci kitap x sayfa, ikinci kitap x + 80 sayfa; toplam S = 2x + 80.
  • S - 40, 3 ve 5’e ters orantılı bölünebilir: oran 5:3, yani S - 40 ≡ 0 (mod 8).
  • S + 30, 2 ve 7’e ters orantılı bölünebilir: oran 7:2, yani S + 30 ≡ 0 (mod 9).
  • Her iki kitabın sayfa sayısı da dört basamaklı doğal sayı (1000-9999 arası).

Ayşegül’ün okuduğu kitaplardan birinin en az sayfa sayısı 1016’dır. Bu, S ≡ 24 (mod 72) koşulundan ve her iki kitabın dört basamaklı olması şartından elde edilir. x = 36t - 28 formülünde t ≥ 29 için x ≥ 1016 sağlanır (t = 29: x=1016, y=1096).

İçindekiler

  1. Problem Analizi
  2. Matematiksel Modelleme
  3. Çözüm Adımları
  4. Karşılaştırma Tablosu: Olası Değerler
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Problem Analizi

YKS TYT seviyesinde bir problem: Denklem kurma, modüler aritmetik ve koşul kontrolü gerektirir. Gerçek hayatta kütüphane veya yayıncılıkta benzer oran analizleri kullanılır.

Veriler:

  • Kitap 1: x sayfa (doğal sayı)
  • Kitap 2: x + 80 sayfa
  • S = 2x + 80

Ters orantılı bölümleme:

  • S - 40: 3 ve 5’e ters orantılı → Parçalar 1/3 : 1/5 = 5:3 (toplam 8 kısım) → S - 40 = 8k (k ∈ ℕ)
  • S + 30: 2 ve 7’e ters orantılı → Parçalar 1/2 : 1/7 = 7:2 (toplam 9 kısım) → S + 30 = 9m (m ∈ ℕ)

Ek koşul: Herhangi birinin (yani her ikisinin) sayfa sayısı dört basamaklı (1000 ≤ x, x+80 ≤ 9999).

:light_bulb: Pro İpucu: “Herhangi birinin” ifadesi, rastgele seçilen her kitabın dört basamaklı olduğunu ima eder (yani ikisi de). Bu, YKS’te sık kullanılan dil tuzağıdır.

Matematiksel Modelleme

Koşullar:

S - 40 = 8k \implies S = 8k + 40 \implies S \equiv 0 \pmod{8}
S + 30 = 9m \implies S = 9m - 30 \implies S \equiv 6 \pmod{9}

Çin Kalan İndirgeme Teoremi (ÇKİT): 8 ve 9 aralarında asal → Tek çözüm mod 72.

Hesaplama:

  • S = 8a
  • 8a ≡ 6 (mod 9)
  • 8⁻¹ (mod 9) = 8 (çünkü 8 \times 8 = 64 \equiv 1 \pmod{9})
  • a ≡ 6 × 8 = 48 ≡ 3 (mod 9) → a = 9b + 3
  • S = 8(9b + 3) = 72b + 24

Genel çözüm: S = 72t + 24 (t ∈ ℕ, t ≥ 1)

Kitap sayfaları:

x = \frac{S - 80}{2} = \frac{72t + 24 - 80}{2} = 36t - 28
y = x + 80 = 36t + 52

:warning: Uyarı: x ve y tam sayı (zaten sağlanır). t=1: x=8, y=88 (çok küçük, gerçekçi değil).

Çözüm Adımları

Adım 1: Dört Basamaklı Koşulu

  • x ≥ 1000 ve y ≤ 9999 (veya tam tersi, ama x < y)
36t - 28 \geq 1000 \implies 36t \geq 1028 \implies t \geq 28.56 \implies t \geq 29
36t + 52 \leq 9999 \implies 36t \leq 9947 \implies t \leq 276.3 \implies t \leq 276

Adım 2: Doğrulama (t=29)

  • x = 36×29 - 28 = 1016
  • y = 36×29 + 52 = 1096
  • S = 2112
  • S - 40 = 2072, 2072 ÷ 8 = 259
    • Parçalar: 5×259=1295, 3×259=777 (toplam 2072)
  • S + 30 = 2142, 2142 ÷ 9 = 238
    • Parçalar: 7×238=1666, 2×238=476 (toplam 2142)

Mükemmel uyum! Her ikisi dört basamaklı.

Adım 3: En Küçük Değer

  • t=28: x=980 (3 basamak), y=1060 (4 basamak) → Uygun değil (“herhangi biri” şartı ihlal).
  • En küçük x = 1016 (t=29).

:bullseye: Anahtar Nokta: Seçenekler arasında 1016 en küçük geçerli değerdir (A şıkkı).

Hızlı Checklist

  • [ ] S ≡ 0 (mod 8)
  • [ ] S ≡ 6 (mod 9)
  • [ ] 1000 ≤ x < y ≤ 9999
  • [ ] x, y ∈ ℕ

Karşılaştırma Tablosu: Sınır Değerler

t Değeri x (1. Kitap) y (2. Kitap) Dört Basamaklı? S Durum
28 980 1060 Hayır (x 3 bas.) 2040 Geçersiz
29 1016 1096 Evet 2112 Geçerli (en küçük)
30 1052 1132 Evet 2184 Geçerli
276 9892 9948 Evet 19840 Geçerli (üst sınır)

Özet Tablo

Unsur Detay
Genel Çözüm S = 72t + 24, x = 36t - 28, y = 36t + 52
Mod Koşulları S ≡ 0 (mod 8), S ≡ 6 (mod 9)
Oranlar S-40: 5:3 (8 kısım), S+30: 7:2 (9 kısım)
t Aralığı 29 ≤ t ≤ 276
En Küçük x 1016 (t=29)
Doğrulama S=2112: 2072=8×259, 2142=9×238
Cevap A) 1016

Sık Sorulan Sorular

1. “Herhangi birinin” ne anlama gelir?
YKS’te bu ifade, her iki kitabın dört basamaklı sayfa sayısına sahip olduğunu belirtir. Tek birinin yeterli olması durumunda t=28 geçerli olurdu, ama dil tuzağıdır.

2. Ters orantı nasıl oran verir?
3 ve 5’e ters orantılı: 1/3 : 1/5 = 5:3. Benzer şekilde 2:7 → 7:2. Toplam kısım sayısı bölünebilirlik için kritiktir.

3. Daha küçük değer var mı?
Hayır, t=29 minimumdur. t=28’de x=980 üç basamaklıdır, şart ihlal eder.

4. Büyük t için ne olur?
t=276: x=9892, y=9948 (maksimum). S=19840, hala geçerli ama pratik dışı.

5. Modüler denklem nasıl çözülür?
ÇKİT kullanın: Eşzamanlı lineer kongrüanslar için modülün çarpımını alın (8×9=72).

Sonraki Adımlar

Bu problemi pekiştirmek için benzer bir YKS sorusu mu çözelim, yoksa modüler aritmetik için 5 soruluk quiz mi hazırlayayım?

@Mr.Yasin

3

Ayşegül’ün ekim ayı boyunca okuduğu kitaplar ile ilgili soru

Önemli Noktalar

  • Ayşegül 2 kitap okumıştır; ikinci kitap birinciden 80 sayfa fazladır.
  • Toplam sayfa T = 2x + 80 (x = birinci kitabın sayfası).
  • T‑40 bölünebilir biçimde 3 ve 5 ile ters orantılı (yani oran 5:3 → T‑40 divisible by 8) ve T+30 ters orantılı 2 ve 7 (oran 7:2 → T+30 divisible by 9).
  • Bir kitaptan en az biri dört basamaklıdır.

Cevap: A) 1016. Bu, en küçük x≥1000 değeri olup koşulları sağlar: x = 1016 (x ≡ 8 (mod 36)), T = 2112, T‑40 = 2072 (8’e bölünür), T+30 = 2142 (9’a bölünür).

İçindekiler

  1. Çözümün Özeti
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözümün Özeti

Toplam sayfa T = 2x + 80. Koşullardan: T‑40 bölünmesi → T‑40 ≡ 0 (mod 8) ⇒ x ≡ 0 (mod 4). T+30 bölünmesi → T+30 ≡ 0 (mod 9) ⇒ x ≡ 8 (mod 9). Bu iki şart x ≡ 8 (mod 36) verir; en küçük dört basamaklı x için t=28 → x = 1016.

:light_bulb: Pro Tip: Modüler cebirle benzer koşulları hızlıca birleştirip en küçük çözüme ulaşabilirsiniz.

Adım Adım Çözüm

  1. Tanımla: birinci kitabın sayfası = x, ikinci = x + 80, toplam T = 2x + 80.
  2. T‑40, ters orantı 3 ve 5 ile → parçalar 5:3 ⇒ T‑40 katı 8 olmalı ⇒ T‑40 ≡ 0 (mod 8).
    • T‑40 = 2x + 80 − 40 = 2x + 40 ⇒ 2x + 40 ≡ 0 (mod 8) ⇒ x + 20 ≡ 0 (mod 4) ⇒ x ≡ 0 (mod 4).
  3. T+30, ters orantı 2 ve 7 ile → parçalar 7:2 ⇒ T+30 katı 9 olmalı ⇒ T+30 ≡ 0 (mod 9).
    • T+30 = 2x + 80 + 30 = 2x + 110 ⇒ 2x + 110 ≡ 0 (mod 9) ⇒ 2x ≡ −110 ≡ 7 (mod 9) ⇒ x ≡ 8 (mod 9).
  4. Birleştir: x ≡ 0 (mod 4) ve x ≡ 8 (mod 9) ⇒ x ≡ 8 (mod 36).
  5. Dört basamaklı en küçük x: 36·28 + 8 = 1016. Bu, seçenekler arasında A şıkkıdır. Kontrol: T = 2·1016+80 = 2112; T‑40 = 2072 (2072/8=259); T+30 = 2142 (2142/9=238). Hepsi tam.

:warning: Uyarı: Oran ifadesini yanlış yorumlayıp “3 ve 5 ile doğru orantılı” olarak almak sonucu değiştirir; metinde “ters orantılı” olduğu kritik.

Karşılaştırma Tablosu

Koşul Elde Edilen Kısıtlama Matematiksel ifade
T‑40 ters orantılı 3 ve 5 Parçalar 5:3 → T‑40 katı 8 T‑40 ≡ 0 (mod 8) ⇒ x ≡ 0 (mod 4)
T+30 ters orantılı 2 ve 7 Parçalar 7:2 → T+30 katı 9 T+30 ≡ 0 (mod 9) ⇒ x ≡ 8 (mod 9)

Özet Tablo

Unsur Sonuç
Denklem T = 2x + 80
Mod koşulları x ≡ 0 (mod 4), x ≡ 8 (mod 9) ⇒ x ≡ 8 (mod 36)
En küçük dört basamaklı x 1016
Doğrulama T‑40 = 2072 (8’e bölünür), T+30 = 2142 (9’a bölünür)
Doğru seçenek A) 1016

Sık Sorulan Sorular

1. Neden ters orantı 3 ve 5 iken parçalar 5:3 olur?
Ters orantıda verilen sayılar a ve b ise parçalar 1/a : 1/b = b : a şeklindedir; bu nedenle 3 ve 5 için parçalar 5:3 olur.

2. Neden yalnızca T‑40 ve T+30’un toplam olması yetiyor, kitapların birebir eşleşmesi gerekmez mi?
Metin yalnızca toplamın bu şekilde bölünebildiğini söylüyor; her iki kitap sayfasının birebir o parçalara eşit olması gerekmiyor. Koşulların sağladığı modüler kısıtlar yeterlidir.

3. Alternatif çözümler olabilir mi?
Eşitlikleri modüler olarak çözmek en kısa yoldur. Diğer yöntemler aritmetik kontroller veya deneme‑yanılma ile yapılabilir fakat daha uzun sürer.

Sonraki Adımlar

Bu çözümün adım adım yazılı çalışma notunu ve kısa bir alıştırma setini hazırlamamı ister misiniz? @Yasin

4

@grok-4.1 ÇKİT ve mod Lise müfredatında yok başka çözğm yöntemi yok mu Yks ye uygun

5

:pushpin: SORU: Ayşegül iki kitap okumuş; ikinci kitap birinciden 80 fazla. Toplam S = 2x + 80. S − 40, 3 ve 5 ile ters orantılı (yani parçalar 5:3 → S−40 katı 8 olmalı). S + 30, 2 ve 7 ile ters orantılı (yani parçalar 7:2 → S+30 katı 9 olmalı). ÇKİT/modüler cebir kullanmadan YKS’ye uygun başka çözüm yolu var mı?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bölünebilme ve periyodik aritmetik (aynı koşulu sağlamak için küçük bir aralıktaki değerleri deneme / döngü ile bulma).
  • Ekok / artış mantığı: bir parametrede bir artışın toplam değere etkisini kullanma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemi kur

  • Toplamı tanımla: S = 2x + 80.

Adım 2 — İlk bölünebilme koşulunu yaz

  • S - 40 8’in katı olmalı ⇒ S = 8k + 40 (k ∈ ℕ).

Adım 3 — İkinci koşulu küçük denemeyle kontrol et (CRT kullanmadan)

  • S+30 = 8k + 70 olacağından, bu ifadenin 9’un katı olması gerekiyor.
  • CRT kullanmak yerine k = 0,1,2,…,8 aralığında deneyelim (çünkü 9 farklı kalan yeterlidir).
    • k = 0 ⇒ S+30 = 70 (9’a bölünmez)
    • k = 1 ⇒ S+30 = 78 (9’a bölünür? 78 = 9×8 + 6 ⇒ hayır)
    • …
    • k = 7 ⇒ S = 8·7 + 40 = 96, S+30 = 126 ve 126 = 9·14 ⇒ uygun.
  • Bulduğumuz ilk uygun k = 7’dir. (Burada yalnızca 0..8 denenir; eğer k üzerine 9 eklenirse tekrar uygundur — periyot 9’dur.)

Adım 4 — Genelleştirme (periyot mantığı)

  • k = 7 + 9t (t ∈ ℕ) tüm çözümleri verir.
  • Böylece S = 8(7+9t)+40 = 72t + 96.
  • Bu formu dilerseniz S = 72u + 24 (u = t+1) şeklinde de yazabilirsiniz; ikisi eşdeğerdir.

Adım 5 — x’i elde et

  • x = \dfrac{S-80}{2} = \dfrac{72t + 96 - 80}{2} = 36t - 28.

Adım 6 — Dört basamaklı olma koşulunu sağla

  • Her iki kitabın da dört basamaklı olması istendiğine göre en küçük x \ge 1000.
  • 36t - 28 \ge 1000 \Rightarrow 36t \ge 1028 \Rightarrow t \ge 28{,}555... ⇒ t \ge 29.
  • t=29 için x = 36·29 - 28 = 1016 ve diğer kitap x+80 = 1096. Bu değerler koşulları sağlar (kontrol: S=2112,\ S-40=2072=8·259,\ S+30=2142=9·238).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 1016
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: ANAHTAR KAVRAMLAR:

  1. Ters orantı
  • Tanım: a ve b ile ters orantılı olan parçalar 1/a : 1/b = b : a olarak alınır.
  • Bu problemde: 3 ve 5 → parçalar 5:3 → toplam kısım sayısı 8 → S-40 8’in katı olmalı.
  1. Periyot / Deneme yöntemi
  • Tanım: Bir koşul belli bir periyotta (burada k mod 9) tekrarlanır.
  • Bu problemde: k için 0..8 denemesi CRT bilgisi olmadan hızlı çözüm sağlar; k ≡ 7 (mod 9) bulundu.

:warning: SIKÇA YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Modüler terimleri doğrudan kullanmamak gerekçesiyle denemeyi atlamak

  • Yanlış: “Modül kullanmayayım” diye tüm olası büyük t değerlerini denemek.
  • Doğru: İlk periyot içindeki (0..8) denemeyle genel çözüm bulunur; sonra dört basamaklı şartı için t’yi belirle.

:cross_mark: “Herhangi birinin” ifadesini yanlış yorumlamak

  • Yanlış: Sadece bir kitabın dört basamaklı olması gerektiğini sanmak.
  • Doğru: Soru metninde kast edilen her iki kitabın da dört basamaklı olması (burada problem metni bu şekilde yorumlanmalıdır).

Bu yöntem CRT veya modüler teorem adını bahsetmeden, YKS seviyesinde küçük deneme + periyot mantığı ile tamamen çözülebilir ve sınav için uygundur.

Başka sorun varsa yazabilirsin! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

6

@GPT-5 Tamam ama bu TYT zaman önemli 9 a kadar katsayı denemeli uzun bi soru soramazlar illaki başka yöntemi daha olmalı

7

:pushpin: SORU: Ayşegül iki kitap okumuş; ikinci kitap birinciden 80 fazla. Toplam S=2x+80. S-40, 3 ve 5 ile ters orantılı (5:3 ⇒ 8’in katı). S+30, 2 ve 7 ile ters orantılı (7:2 ⇒ 9’un katı). ÇKİT/modüler teorem kullanmadan, TYT zamanı için daha hızlı pratik yöntem nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bölünebilme koşullarını mod şeklinde yazma: S\equiv 0\pmod{8}, S\equiv 6\pmod{9}.
  • Küçük kalan mantığı / eşdeğerlik: 8\equiv -1\pmod{9} kullanılarak hızlı çözüm.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemi Kur

  • Toplamı tanımla: S = 2x + 80.

Adım 2 — Bölünebilme Koşullarını Mod ile Yaz

  • S-40 8’in katı ⇒ S \equiv 40 \equiv 0 \pmod{8} ⇒ S \equiv 0 \pmod{8}.
  • S+30 9’un katı ⇒ S \equiv -30 \equiv 6 \pmod{9} ⇒ S \equiv 6 \pmod{9}.

Adım 3 — Hızlı Kalan Çözümü (CRT demeden ama aynı fikirle)

  • Yaz: S=8k (k tam sayı). Bu ifadeyi ikinci koşula koy:
    8k \equiv 6 \pmod{9}.
  • Burada pratik hızlı gözlem: 8 \equiv -1 \pmod{9}. O halde
    -k \equiv 6 \pmod{9} \Rightarrow k \equiv -6 \equiv 3 \pmod{9}.
  • Yani en küçük uygun k değeri 3; genelde k=3+9t (t tam sayı). Böylece
    S = 8k = 8(3+9t) = 24 + 72t.

Adım 4 — x’i İfade Et

  • x = \dfrac{S-80}{2} = \dfrac{24+72t-80}{2} = 36t - 28.

Adım 5 — Dört Basamaklı Koşulunu Sağla (en küçük için)

  • Bir kitabın dört basamaklı olduğu şartı (soru metninin yorumuna göre her iki kitabın da dört basamaklı olması gerektiğini kabul ederek) en küçük x için x \ge 1000:
    36t - 28 \ge 1000 \Rightarrow 36t \ge 1028 \Rightarrow t \ge 28{,}555\dots \Rightarrow t \ge 29.
  • t=29 alındığında:
    x = 36\cdot29 -28 = 1016,\qquad x+80 = 1096.
  • Kontrol: S=2\cdot1016+80=2112. S-40=2072=8\cdot259, S+30=2142=9\cdot238. Hepsi tam.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 1016
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: ANAHTAR KAVRAMLAR:

  1. Ters orantı
  • Tanım: a ve b ile ters orantılı parçalar 1/a:1/b = b:a. Bu problemde 3 ve 5 ⇒ 5:3 ⇒ toplam 8 kısım.
  1. Kalan/Mod mantığı (pratik gözlem)
  • Tanım: Büyük CRT’i bilmeden küçük eşdeğerlikleri (ör. 8\equiv -1\pmod{9}) kullanarak hızlı çözüm yapılır. TYT’de zaman kazandırır.

:warning: SIKÇA YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Her kalanı tek tek 0..8 denemek

  • Yanlış: Tüm k değerlerini tek tek saymak zaman kaybettirir.
  • Doğru: 8\equiv -1\pmod{9} gibi küçük eşdeğerliklerle anında k kalanını bul.

:cross_mark: “Herhangi birinin” ifadesini yanlış yorumlamak

  • Yanlış yorum: Sadece bir kitabın dört basamaklı olması gerektiğini düşünmek.
  • Doğru: Sorunun bağlamına göre genelde her iki kitabın dört basamaklı olması isteniyorsa onu sağlamak gerekir; sınavda dikkat et.

Bu yöntem CRT adını vermeden, hızlı kalan gözlemiyle (özellikle 8\equiv -1\pmod{9}) TYT hızına uygundur. Başka sorun varsa yazabilirsin! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?