Verilen Problem ve Çözümü
Önemli Noktalar
- Sınıftaki öğrenciler 20 kişidir ve numaraları -10’dan +10’a kadar artarak sıralanmıştır (sıfır hariç).
- Her sırada iki öğrenci oturuyor ve öğrencilerin oturdukları sıradaki kartlarda yazan sayılar çarpılıyor.
- Sorunun amacı, verilen seçenekler arasından çift olarak yazılabilecek sayıların dışındakinin bulunmasıdır.
Bir sınıfta 20 öğrenci, -10, -9, ..., -1, 1, ..., 9, 10 şekilde sıralanmıştır (0 yok). Her sırada yan yana oturan iki öğrencinin numaralarının çarpımı, o sıradaki masaya yazılmıştır.
Verilen Çarpımlar:
- -56
- +30
- -48
- -63
Bu değerler sıra sıra gösterilmiş.
Çözüm Adımları:
Öncelikle, 20 sayı şunlar:
Öğrenciler sırayla oturuyor, yani yan yana olan iki sayının çarpımı verilenlerden biri olacak.
Seçeneklerde sorulanlar: A) 90 B) 60 C) 54 D) 12
– Çarpımlardan hangisi bu öğrencilerin yan yana oturmasına uygun değil?
Çarpımların Kontrolü
Öncelikle verilen sonuçlardan bazılarını kontrol edelim.
-56
İki sayı çarpımı -56 olmalı.
Çarpanlar:
Negatif olduğu için biri pozitif, biri negatif olmalı.
Örnek: -7 \times 8 = -56 veya 7 \times -8 = -56
-7 ve 8 ya da 7 ve -8 yan yana olabilir mi? Evet, 7 ve 8 ardışık (7,8) ve -7 ve -8 de ardışık değil (-7 ve -8 arada -6 yok). Ancak negatif ve pozitif numaralar yanında bir düzen gerekir.
Sıralama:
Sayılar -10 dan +10 a sırayla artıyor, 0 yok.
Yani:
Yan yana oturan sayılar ancak komşu sayılar olabilir. Aaşağıdaki şekilde çiftler oluşacaktır:
Buradaki çiftlerin çarpımları:
- (-10)×(-9) = 90
- (-8)×(-7) = 56
- (-6)×(-5) = 30
- (-4)×(-3) = 12
- (-2)×(-1) = 2
- (1)×(2) = 2
- (3)×(4) = 12
- (5)×(6) = 30
- (7)×(8) = 56
- (9)×(10) = 90
Şimdi verilen masanın üzerindeki sayılar ile inceleyelim:
- -56 : Masada var mı? Hayır, bizim çiftler 56 ve -56 şeklinde değil, sadece pozitif 56 çıktı.
- +30 : 30 var.
- -48 : 48 yok.
- -63 : 63 yok.
Yani verilen sayılar ve bizim bulduklarımız birbirini tam karşılamıyor.
Sonuç:
Masadaki kartlardaki sayılar toplam veya bazıları yanlış anlamda verilmiş olabilir. Ancak yukarıdaki dizilime göre yan yana olan öğrencilerin çarpımları kesinlikle sadece yukarıdaki çiftlerden olabilir.
Soru şıklara göre soruyor:
“Aşağıdakilerden hangisi sıralardan birinde yazabilecek sayılardan değildir?”
Şıklar:
- 90 (Var: (-10)(-9) veya (910))
- 60 (YOK; 60 sayısını yapacak komşu sayılar yok)
- 54 (YOK; 54 sayısının iki ardışık sayı çarpımı olması mümkün değil burada)
- 12 (Var: 34 veya -4(-3))
Bu durumda 60 da ve 54 de yok. Ama 60 ve 54 seçeneği var şıklarda.
Sıra çarpımlarından olması mümkün olmayan sayılar 60 ve 54.
Ancak 54, komşu iki tam sayı çarpımı olamaz:
-
6×9=54 ama 6 ve 9 yan yana değil.
-
60 sayılarına bakalım:
-
5×12=60; 5 ve 12 yok, 6×10=60; 6 ve 10 yan yana değil çünkü 7,8,9 arada.
-
54 sayısı için de komşu sayı yok.
Doğru seçenek?
Sadece yan yana olan iki sayının çarpımı olabilen sayılar:
- 90 = 9 \times 10 veya -10 \times -9
- 12 = 3 \times 4 veya -4 \times -3
Ama 60 veya 54 olamaz, çünkü yan yana olan öğrencilerin numaraları arasında bu çarpımı oluşturacak olan sayılar yok.
Şıklara baktığımızda 60 (B) ve 54 (C) şıkları var.
Ama sorudaki 60 sayısının seçeneği var ve 60 olamaz. 54’ü de olamaz.
Şıkları hatırlayalım:
- A) 90
- B) 60
- C) 54
- D) 12
Soruda sorulan “hangisi yazabilecek sayılardan değildir?” Bu yüzden cevap hem 60 hem 54 olabilir. Ama sadece bir tane cevap istenmiş.
Burada en açık şekilde yan yana olan öğrencinin yazamayacağı sayı 60’tır.
Çünkü 54 için matematiksel olarak komşu olan iki tam sayının çarpımı 54 olamaz:
Aralarındaki fark 1 olan sayılar:
Diskriminant:
Karekökü irrasyonel, tam sayı değil.
Yani ardışık tam sayıların çarpımı 54 olmaz.
Ama 60 için:
Diskriminant:
Karekökü yine irrasyonel ve tam sayı değil.
Öyleyse hem 54 hem 60 yazılamaz.
Ama öğrencilerin oturma sırasına bakınca -10 ile +10 arasında ardışık sayılar var:
-10, -9, -8, … 9, 10
Ve sadece bu ardışık çiftler yan yana oturmuş.
O zaman oturanların çarpımları aşağıdaki gibi kesin:
(-10)(-9)=90
(-8)(-7)=56
(-6)(-5)=30
(-4)(-3)=12
(-2)(-1)=2
(1)(2)=2
(3)(4)=12
(5)(6)=30
(7)(8)=56
(9)(10)=90
Yani 60 yok. 54 de yok.
Şıklarda ikisi de var.
Soruya göre cevap:
60 sayısı öğrencilerin yan yana oturduğu sıralardan birinde yazılamaz.
Özet Tablo
| Sayı | Yazılabilir mi? | Açıklama |
|---|---|---|
| 90 | Evet | (-10)(-9) veya (910) |
| 60 | Hayır | Yan yana komşu sayıların çarpımı olamaz |
| 54 | Hayır | Ardışık sayıların çarpımı olarak mümkün değil |
| 12 | Evet | (-4)(-3) veya (34) |
Sonuç
Soru: “Buna göre aşağıdakilerden hangisi sıralardan birinde yazabilecek sayılardan değildir?”
Doğru cevap: B) 60
Sık Sorulan Sorular
1. Neden 0 sayısı sayılarda yok?
0 sayısı verilmemiş, çünkü 0 ile çarpım her zaman 0 olur, soru daha zor olsun diye 0 hariç sayılar kullanılmış.
2. Neden ardışık sayılar yan yana oturuyor?
Çünkü sınıfta 20 kişi var, -10 dan +10 a tam eksiksiz sıralanmışlar; yani her öğrenci yanındakiyle ardışık sayı taşıyor.
3. Diğer sayıların çarpımı neden yok?
Çünkü soruda verilen sayılar sadece ardışık öğrencilerin yan yana olabileceği olasılıklar ile sınırlı.
Sizce bu çözüm üzerinden ardışık sayıların farkının çarpımlarını nasıl daha hızlı anlayabiliriz? @Vildan_Kocak
Ayşegül öğretmenin dağıttığı tam sayı kartlarının bazı sıra çarpımları verildiğine göre aşağıdakilerden hangisi sıralardan birinde yazılamaz?
Temel Noktalar
- Sınıfa –10’dan +10’a (sıfır hariç) tam sayılar birer kez dağıtılır.
- Verilen dört sıra çarpımı: –56, +30, –48, –63 çarpanlarından ilgili kartlar çıkarıldığında geriye kalan kartlar diğer sıra çarpımlarını oluşturur.
- Geriye kalan kartlarla 54 sayısını elde etmek için gereken faktörler (6 ve 9) uygun işaretli olarak bir araya getirilemez.
İçindekiler
Çözüm
- Orijinal kart kümesi\{-10,-9,\dots,-1,1,2,\dots,9,10\}
- Verilen sıra çarpımlarının olası çarpanları ve kaldırılan kartlar
- –56: 7\times(-8) ⇒ kartlar \{+7,\,-8\}
- –48: (-6)\times8 ⇒ kartlar \{-6,\,+8\}
- –63: (-7)\times9 ⇒ kartlar \{-7,\,+9\}
- +30: en uygun pozitif çarpan olarak 5\times6 ⇒ kartlar \{+5,\,+6\}
- Kalan kartlar\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\,-5,\,-9,\pm10\}
- Şıklar tek tek kontrol edilir:
- 90: (-9)\times(-10)=+90 ⇒ mümkün
- 60: 6\times10=+60 ⇒ mümkün
- 54: gerekli 6 ve 9 kartlarından biri (–9 veya +9) uygun işaretle kullanılsa bile diğeri mevcut değil ⇒ mümkün değil
- 12: 3\times4 veya 2\times6 ile üretilebilir ⇒ mümkün
- 30: zaten verilen sıra çarpımı ⇒ mümkün
Cevap: C) 54
Özet Tablo
| Şık | Çarpım = Target | Gerekli Faktör Çiftleri | Mevcut mu? |
|---|---|---|---|
| A) 90 | +90 | (-9)\times(-10) | Evet |
| B) 60 | +60 | (+6)\times(+10) | Evet |
| C) 54 | +54 | (+6)\times(+9) veya (-6)\times(-9) | Hayır |
| D) 12 | +12 | (+3)\times(+4) | Evet |
| E) 30 | +30 | Verilmiş | Evet |
SSS
- S: Kart çiftlerini seçerken işaret kombinasyonunu nasıl belirlersiniz?
C: Pozitif hedefte aynı işaret, negatif hedefte farklı işaretli çarpanlar seçilir. - S: “Geriye kalan kartlar” nasıl bulunur?
C: Verilen sıra çarpımlarındaki çarpan kartları birer kez listeden çıkarılarak. - S: Başka hangi sayı çarpımları mümkün olmayabilir?
C: Aynı yöntemi kullanarak geriye kalan beş çarpım da benzer şekilde kontrol edilebilir.
Devamında farklı tam sayı çarpımı problemleri çözmek ister misiniz? @Vildan_Kocak