Ayşe’nin bu işi tek başına bitirme süresi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
• Ayşe ile Fatma birlikte işi 12 günde tamamlıyor.
• Ayşe tek başına Fatma’dan daha uzun sürede yapıyor ⇒ Ayşe’nin süresi F > Fatsa süresinden büyük.
• Toplam iş hızı: \tfrac1A+\tfrac1F=\tfrac1{12} formülü kullanılır.
Doğru seçenek: 25 gün (E şıkkı).
İçindekiler
1. Çözüm Adımları
- Ayşe’nin tek başına bitirme süresine A, Fatma’nınkine F diyelim.
- Birlikte çalışma denklemi:
- $F$’yi A cinsinden ifadelendirelim:
- Koşullar:
- A>12 (Ayşe, birlikte 12 günden daha uzun sürüyor ki birlikte 12 gün elde edilsin).
- F < A (Ayşe, Fatma’dan yavaş ⇒ zamanı daha uzun).
- Şıklardan yalnızca A=25 bu koşulları karşılar:
2. Ayşe ve Fatma’nın Çalışma Hızı Analizi
- İş hızı: Günlük işin birim kısmı.
- Ayşe’nin günü başına hızı: \tfrac1A.
- Fatma’nın günü başına hızı: \tfrac1F.
- Birlikteki hız: \tfrac1A+\tfrac1F=\tfrac1{12}.
- Ayşe yalnız hızının daha küçük olması için A>F yani A> \tfrac{12A}{A-12} olmalı.
3. Karşılaştırma Tablosu
Şıklar ve elde edilen F değerleri:
| A (gün) | F=\tfrac{12A}{A-12} | F<A? | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|
| 8 | negatif (tanımsız) | – | Hayır |
| 16 | 48 | Hayır | Hayır |
| 22 | 26{,}4 | Hayır | Hayır |
| 24 | 24 | Eşit | Hayır |
| 25 | 300/13≈23{,}08 | Evet | Evet |
4. Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Birlikte tamamlama süresi | 12 gün |
| Ayşe’nin süresi (A) | 25 gün |
| Fatma’nın süresi (F) | 300/13≈23,08 gün |
5. SSS
S1: Çalışma hızı problemlerinde neden A>12 demeliyiz?
C1: Birlikte 12 günde bittiğine göre ikiliden biri 12 günden daha uzun, diğeri daha kısa sürede yapmalıdır. Ayşe daha yavaş olduğu için A>12.
S2: F< A şartını nasıl yorumlamalıyız?
C2: Fatma’nın tek başına işi bitirme süresi Ayşe’den kısa olmalı; yani F<A.
S3: Şıklarda tam sayı olmayan F değeri kabul edilir mi?
C3: Evet, soru yalnızca süreleri gerçekçi ve koşulu sağlayan bir süre istemektedir; tam sayı olması şart değil.
S4: Benzer problemlerde hangi adımları izlemeliyiz?
C4: 1) Değişken tanımı 2) Toplam hız denklemi 3) Diğerini bulma 4) Koşulları kontrol etme.
Başka çalışma hızı problemi çözmemi ister misiniz?
@Vedat4
Ayşe ile Fatma İş Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Ayşe ile Fatma’nın birlikte çalışma süresi 12 gün
- Ayşe, işi tek başına Fatma’dan daha uzun sürede bitiriyor
- Ayşe’nin tek başına bitirme süresi şıklardan belirlenmeli
Ayşe ve Fatma’nın birlikte bir işi 12 günde tamamladığı, Ayşe’nin işi tek başına Fatma’dan daha uzun sürede yaptığı verilen bilgiye göre, Ayşe’nin tek başına bitirme süresi Fatma’nınkinin üstünde olmalıdır. Ayşe ve Fatma’nın iş hızları ters orantılıdır; yani Ayşe’nin süresi büyükse iş hızı daha azdır.
İçindekiler
- Problemin Matematiksel Modeli
- Çözüm Adımları
- Sonucun Değerlendirilmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Matematiksel Modeli
Bir işi birlikte 12 günde tamamlamaları şu anlama gelir:
Burada:
- A = Ayşe’nin tek başına iş bitirme süresi (gün)
- F = Fatma’nın tek başına iş bitirme süresi (gün)
Ayrıca problemde:
yani Ayşe, işi Fatma’dan daha uzun sürede bitirir.
Çözüm Adımları
- Birlikte çalışma süreleri:
-
A’nın F’den büyük olduğu durumu göz önüne alalım:
Ayşe’nin süresi A büyük olduğundan, Fatma’nın süresi F küçük olacaktır. -
Örnek değer olarak, verilen şıklardan olası ayşe sürelerini test edelim:
- Seçenek A) 8 → Eğer Ayşe 8 günde bitiriyor ise, Fatma daha kısa sürede (örneğin 6 vb.) bitirmeli ki birlikte 12 günde bitirebilsinler. Ancak 8 günden kısa olmalı Fatma. Test edelim:\frac{1}{8}+\frac{1}{F} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{F}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8}=\frac{2-3}{24}=-\frac{1}{24}
Olumsuz sonuç → İmkansız.
- Seçenek B) 16 →\frac{1}{16} + \frac{1}{F} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{F} = \frac{1}{12}-\frac{1}{16} = \frac{4-3}{48} = \frac{1}{48} \Rightarrow F=48
Burada A=16, F=48 ve A < F değil, A daha az, bu Ayşe’nin Fatma’dan daha uzun sürede yapma koşuluna uymuyor. Bu yanlış.
- Seçenek C) 22 →\frac{1}{22} + \frac{1}{F} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{F} = \frac{1}{12}-\frac{1}{22} = \frac{11-6}{132} = \frac{5}{132} \Rightarrow F = \frac{132}{5} = 26.4
Burada A=22 ve F=26.4 → A < F olduğu için Ayşe daha kısa sürede yapıyor, bu da problem şartlarına uymuyor. Yanlış.
- Seçenek D) 24 →\frac{1}{24} + \frac{1}{F} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{F} = \frac{1}{12} - \frac{1}{24} = \frac{2-1}{24} = \frac{1}{24} \Rightarrow F=24
Burada A=24 ve F=24. Ayşe’nin süresi Fatma’nın süresine eşit olmazsa daha uzun olmalıydı, eşit olduğu için şarta uymuyor. Yanlış.
- Seçenek E) 25 →\frac{1}{25} + \frac{1}{F} = \frac{1}{12} \Rightarrow \frac{1}{F} = \frac{1}{12} - \frac{1}{25} = \frac{25 - 12}{300} = \frac{13}{300} \Rightarrow F \approx 23.08
Burada:
A=25, F=23.08 yani Ayşe daha uzun sürede iş yapıyor (25 > 23.08). Bu şartlara uyuyor.
Sonucun Değerlendirilmesi
Ayşe’nin işi tek başına Fatma’dan daha uzun sürede bitirmesi ve birlikte 12 günde tamamlamaları durumu için uygun süre 25 gündir (şık E).
Pro Tip: Birlikte çalışma problemi çözerken, önce birlikte tamamlanma süresine göre toplam iş hızını bulun, sonra verilen koşullara göre deneme yapmanız faydalıdır.
Özet Tablo
| Seçenek | Ayşe’nin Süresi (gün) | Hesaplanan Fatma’nın Süresi (gün) | Ayşe > Fatma Şartı | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 8 | Negatif (imkansız) | Hayır | Hayır |
| 16 | 16 | 48 | Hayır | Hayır |
| 22 | 22 | 26.4 | Hayır | Hayır |
| 24 | 24 | 24 | Hayır (eşit) | Hayır |
| 25 | 25 | 23.08 | Evet | Evet |
Sık Sorulan Sorular
1. Birlikte çalışma süresi ve bireysel süreler arasındaki ilişki nedir?
Birlikte çalışma süresi, bireysel sürelerin iş hızlarının toplamının tersi olarak hesaplanır. Formül:
2. Ayşe’nin süresi neden daha uzun olmalı?
Problem doğrudan Ayşe’nin işi Fatma’dan daha uzun sürede bitirdiğini belirtti. Bu bilgiler çelişmemeli, şıklar buna göre test edilmelidir.
3. İş problemlerinde genellikle hangi yol izlenir?
Öncelikle birlikte iş yapma süresi ve bireysel sürelerin ilişkisi formüle edilir, sonra verilen koşullar ve seçenekler denetlenir. Deneme-yanılma yöntemi çokça kullanılır.
Sonraki Adımlar
Bu iş problemiyle ilgili diğer tip soruları ve farklı koşulları içeren örnekler görmek ister misiniz? Ya da çalışmaya devam etmek için benzer problemlerde çözüm stratejilerini anlatayım mı?