Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden ardışık üç çift doğal sayı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir tahta blok, en küçük ayrıtına dik bir düzlemle tam ortasından kesilerek dikdörtgenler prizması biçiminde iki eş parçaya ayrılıyor. Elde edilen parçalardan birinin toplam yüzey alanı, kesim işleminden önce tahta bloğun en büyük alanlı yüzeyinin alanının 4 katından 40 santimetrekare eksiktir.
Buna göre başlangıçtaki tahta bloğun en uzun ayrıtı kaç santimetredir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Dikdörtgenler Prizmasında Yüzey Alanı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Dikdörtgenler prizmasının ayrıtları x, y, z ise toplam yüzey alanı:
A = 2(xy + yz + xz)
- Bir prizma herhangi bir ayrıtına dik olarak tam ortadan kesildiğinde, o ayrıt yarıya inerken diğer iki ayrıt sabit kalır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıçtaki prizmanın ayrıtlarını belirleme
Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden ardışık üç çift doğal sayı olduğundan, ayrıtları küçükten büyüğe a, b, c şeklinde ifade edelim:
a = 2n
b = 2n + 2
c = 2n + 4 \quad (n \in \mathbb{N}^+)
Adım 2 — Kesim işleminden sonra oluşan parçanın ayrıtlarını ve yüzey alanını yazma
En küçük ayrıt olan a ayrıtına dik bir düzlemle tam ortasından kesildiğinde, a ayrıtı ikiye bölünür (\frac{a}{2} = n) ve b ile c ayrıtları değişmez.
Elde edilen eş parçalardan birinin ayrıtları n, b, c olur. Bu parçanın toplam yüzey alanı:
A_{\text{parça}} = 2 \cdot \left(n \cdot b + n \cdot c + b \cdot c\right)
A_{\text{parça}} = 2n(b + c) + 2bc = a(b + c) + 2bc
Adım 3 — Problemdeki denklemi kurma
Kesim işleminden önceki en büyük alanlı yüzey, en büyük iki ayrıtın çarpımıdır:
A_{\text{en büyük}} = b \cdot c
Soruda verilen bağıntıya göre:
A_{\text{parça}} = 4 \cdot A_{\text{en büyük}} - 40
a(b + c) + 2bc = 4bc - 40
2bc - a(b + c) = 40
Adım 4 — Değişkenleri yerine koyarak n değerini ve en uzun ayrıtı bulma
- b \cdot c = (2n + 2)(2n + 4) = 4n^2 + 12n + 8
- a(b + c) = 2n(2n + 2 + 2n + 4) = 2n(4n + 6) = 8n^2 + 12n
Denklemde yerine yazalım:
2(4n^2 + 12n + 8) - (8n^2 + 12n) = 40
8n^2 + 24n + 16 - 8n^2 - 12n = 40
12n + 16 = 40
12n = 24 \implies n = 2
Buradan başlangıçtaki prizmanın ayrıtları:
- a = 2n = 4\text{ cm}
- b = 2n + 2 = 6\text{ cm}
- c = 2n + 4 = 8\text{ cm} (En uzun ayrıt)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dik Prizmada Kesit Alma: Bir prizma bir ayrıtına dik bir düzlem boyunca kesildiğinde sadece o ayrıtın boyutu bölünür, diğer iki ayrıtın oluşturduğu kesit yüzeyi yeni birer taban/yüz haline gelir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: En küçük ayrıta dik kesildiğinde kesilen ayrıtı en büyük ayrıt (c) ile karıştırmak veya tüm ayrıtların yarıya indiğini varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Yalnızca dik kesilen doğrultudaki ayrıt bölünür, diğer iki ayrıtın uzunluğu aynen korunur.
Bu soru tipinde kesim sonucunda ortaya çıkan ek yüzey alanları üzerinden pratik bir çözüm yolu daha görmek ister misin?
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Dikdörtgenler Prizmasında Yüzey Alanı (Kısa Çözüm)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir ayrıt ikiye bölündüğünde parçanın alanı:
A_{\text{parça}} = a(b + c) + 2bc
- En büyük yüzeyin alanı:
A_{\text{en büyük}} = b \cdot c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ayrıtları tanımlama ve denklemi kurma
Ardışık çift sayılar olan ayrıtlar a = 2n, b = 2n + 2, c = 2n + 4 olsun. Soruda verilen eşitlik:
A_{\text{parça}} = 4bc - 40 \implies 2bc - a(b + c) = 40
Adım 2 — Değerleri yerine yazıp en uzun ayrıtı bulma
2(2n + 2)(2n + 4) - 2n(4n + 6) = 40
(8n^2 + 24n + 16) - (8n^2 + 12n) = 40
12n + 16 = 40 \implies 12n = 24 \implies n = 2
En uzun ayrıt:
c = 2n + 4 = 2(2) + 4 = 8\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kesit Alanı Değişimi: Kesilen ayrıt yarıya inerken kesilmeyen iki ayrıtın oluşturduğu yüzey aynen korunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Kesme işleminde tüm ayrıtları yarıya düşürmek.
- Doğru Yaklaşım: Yalnızca dik kesilen tek bir ayrıtı yarıya düşürmek.
Benzer bir katı cisim sorusunu daha pratik bir kural ile denemek ister misin?
@sorumatik_ai anlamadım ya
Dikdörtgenler Prizması Alan Problemi (Basit ve Anlaşılır Anlatım)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir kutunun (dikdörtgenler prizmasının) toplam yüzey alanı:A = 2 \times (\text{Ön} + \text{Yan} + \text{Üst}) = 2(xy + yz + xz)
- En büyük yüzey alanı = En büyük iki ayrıtın çarpımıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Gözünde bir ayakkabı kutusu canlandır. Bu kutunun üç ayrıtı var: Küçük, Orta ve Büyük.
Adım 1 — Kenarları belirleyelim
Bu kenarlar ardışık çift sayılardır (aralarındaki fark 2’dir):
- Küçük kenar: a
- Orta kenar: a + 2
- Büyük kenar: a + 4
Adım 2 — Kutuyu tam ortadan keselim
Kutuyu en küçük kenarından (a) tam ortadan ikiye kestiğimizde:
- Yeni küçük kenar: \frac{a}{2} olur.
- Diğer kenarlar (orta ve büyük) hiç değişmez, aynen kalır.
Yeni oluşan küçük parçanın yüzey alanı:
A_{\text{parça}} = 2 \times \left(\frac{a}{2} \cdot \text{Orta} + \frac{a}{2} \cdot \text{Büyük} + \text{Orta} \cdot \text{Büyük}\right)
Parantezi 2 ile çarptığımızda:
A_{\text{parça}} = a \cdot (\text{Orta}) + a \cdot (\text{Büyük}) + 2 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük})
Adım 3 — Sorudaki cümleyi kuralım
- En büyük yüzey = \text{Orta} \cdot \text{Büyük}
- Soru bize diyor ki: “Parçanın alanı, en büyük yüzeyin 4 katından 40 eksiktir.”
A_{\text{parça}} = 4 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) - 40
İki eşitliği birbirine bağlayalım:
a \cdot (\text{Orta} + \text{Büyük}) + 2 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) = 4 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) - 40
Her iki taraftan 2 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) çıkarırsak:
2 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) - a \cdot (\text{Orta} + \text{Büyük}) = 40
Şıkları Deneyerek Çok Daha Kolay Görelim (A Şıkkı: En uzun ayrıt 8 olsun):
Eğer en uzun ayrıt 8 ise ardışık çift sayılar şunlar olur:
- Küçük = 4\text{ cm}
- Orta = 6\text{ cm}
- Büyük = 8\text{ cm}
-
En büyük yüzey alanı:
6 \times 8 = 48\text{ cm}^2Bunun 4 katının 40 eksiği:
4 \times 48 - 40 = 192 - 40 = 152\text{ cm}^2 -
Kestikten sonraki parçanın alanı:
Küçük kenar ikiye bölündü: 4 \div 2 = 2\text{ cm} oldu.
Yeni ayrıtlar: 2, 6 ve 8\text{ cm}.A_{\text{parça}} = 2 \times (2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 + 6 \cdot 8)A_{\text{parça}} = 2 \times (12 + 16 + 48) = 2 \times 76 = 152\text{ cm}^2
İki sonuç da 152 çıktı ve birbirine eşitlendi. Demek ki en uzun kenar gerçekten de 8’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölünen Kenar Mantığı: Bir cisim bir doğrultuda kesildiğinde sadece o eksendeki uzunluğu yarıya iner, kesilmeyen yüzeylerin alanı değişmez.
Şimdi bu mantık tam olarak oturdu mu, aklına takılan özel bir işlem adımı var mı?
@Akademik_Rehber adım üçteki son kısmı anlayamadım
Adım 3’teki Denklem Düzenlemesinin Ayrıntılı Açıklaması
O kısmı çok daha basit görebilmek için uzun ifadelerin yerine birer harf koyarak adım adım inceleyelim.
1. Basitleştirme (İsim Verme)
Gözümüzü korkutmaması için ifadelere kısa isimler verelim:
- a \cdot (\text{Orta} + \text{Büyük}) ifadesine X diyelim.
- (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) çarpımına da Y diyelim.
Bu durumda elimizdeki eşitlik şu hale gelir:
X + 2Y = 4Y - 40
2. Adım Adım Bilinenleri ve Bilinmeyenleri Toplama
Amacımız sayı olan -40’ı pozitif yapıp bir tarafta yalnız bırakmak, harfli ifadeleri ise diğer tarafa toplamaktır:
-
Eşitliğin her iki tarafına 40 ekleyelim:
X + 2Y + 40 = 4Y -
Soldaki 2Y’yi sağ tarafa (-2Y olarak) atalım:
X + 40 = 4Y - 2YX + 40 = 2Y -
Soldaki X’i sağ tarafa (-X olarak) atalım:
40 = 2Y - X
Eşitliği tersten okursak:
2Y - X = 40
3. Harflerin Yerine Asıl İfadeleri Geri Yazma
Şimdi verdiğimiz isimleri tekrar yerine koyalım (Y yerine (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}), X yerine de a \cdot (\text{Orta} + \text{Büyük})):
2 \cdot (\text{Orta} \cdot \text{Büyük}) - a \cdot (\text{Orta} + \text{Büyük}) = 40
Bu şekilde X ve Y harflerini vererek bakınca denklemin nasıl o hale geldiği şimdi daha net anlaşıldı mı?