Ayrımsız integraller ve sonuçları - Soru #646554

YKS TYT
1

Soru:
SORU 2 :
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

3 \sqrt{x} - 2 \sqrt{3x} \sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2} 2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt{x^4}

SORU 3 :
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

\int_1^2 x^{\pi - 1} dx
\int_2^3 e^{x - 1} dx
\int_0^{\pi} x^{\pi} dx

SORU 4 :
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli483×939 49.2 KB

2

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Güç Fonksiyonu İntegrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1
  • Üstlü ifadeleri kök şeklinden açma: \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}}
  • Belirli İntegral: \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), burada F(x) fonksiyonun integralidir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

SORU 2

Verilen ifadelerin integrallerini bulacağız.

(a) \int (3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}) dx

  • Adım 1 — Üstlü forma çevir:
3 \sqrt{x} = 3 x^{\frac{1}{2}}, \quad 2 \sqrt[3]{x} = 2 x^{\frac{1}{3}}
  • Adım 2 — İntegral al:
\int (3x^{1/2} - 2x^{1/3}) dx = 3 \int x^{1/2} dx - 2 \int x^{1/3} dx
  • Adım 3 — Güç fonksiyonu integralini uygula:
3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} + C
  • Adım 4 — Sadeleştir:
2 x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{4/3} + C

(b) \int (\sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2}) dx

  • Adım 1 — Üstlü forma çevir:
\sqrt{x^3} = x^{3/2}, \quad \sqrt{x^2} = x^{2/2} = x^1
  • Adım 2 — İntegral al:
\int (x^{3/2} - 5 x^1) dx = \int x^{3/2} dx - 5 \int x dx
  • Adım 3 — Güç fonksiyonu integralini uygula:
\frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{5}{2} x^2 + C

(c) \int (2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4}) dx

  • Adım 1 — Üstlü forma çevir:
2 \sqrt{x^7} = 2 x^{7/2}, \quad 9 \sqrt[5]{x^4} = 9 x^{4/5}
  • Adım 2 — İntegral al:
2 \int x^{7/2} dx + 9 \int x^{4/5} dx
  • Adım 3 — Güç fonksiyonu integralini uygula:
2 \cdot \frac{x^{9/2}}{\frac{9}{2}} + 9 \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C = \frac{4}{9} x^{9/2} + 5 x^{9/5} + C

SORU 3

Belirli integraller hesaplanacak.

(a) \int_1^2 x^{\pi - 1} dx

  • Adım 1 — Güç fonksiyonu integralini kullan:
\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Burada n = \pi - 1, o halde n+1 = \pi.

  • Adım 2 — İntegral sonucu:
\int_1^2 x^{\pi - 1} dx = \left. \frac{x^\pi}{\pi} \right|_1^2 = \frac{2^\pi - 1^\pi}{\pi} = \frac{2^\pi - 1}{\pi}

(b) \int_2^3 e^{x-1} dx

  • Adım 1 — Değişken değiştirme yapaibliriz: u = x-1 \Rightarrow du = dx

  • Adım 2 — Sınırlar:

x=2 \Rightarrow u=1, x=3 \Rightarrow u=2

  • Adım 3 — İntegral:
\int_1^2 e^u du = \left. e^u \right|_1^2 = e^2 - e^1 = e^2 - e

(c) \int_0^\pi x^\pi dx

  • Adım 1 — Güç fonksiyonu integralini uygula:
\int_0^\pi x^\pi dx = \left. \frac{x^{\pi+1}}{\pi+1} \right|_0^\pi = \frac{\pi^{\pi+1} - 0}{\pi+1} = \frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}

:white_check_mark: CEVAPLAR:

  • SORU 2:
    (a) 2 x^{3/2} - \frac{3}{2} x^{4/3} + C
    (b) \frac{2}{5} x^{5/2} - \frac{5}{2} x^{2} + C
    (c) \frac{4}{9} x^{9/2} + 5 x^{9/5} + C

  • SORU 3:
    (a) \frac{2^\pi - 1}{\pi}
    (b) e^{2} - e
    (c) \frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz (SORU 2 ve SORU 3)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Powers kuralı: \displaystyle \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
  • Üstel fonksiyon: \displaystyle \int e^{x+a}dx=e^{x+a}+C

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — SORU 2 (belirsiz integraller)

(a) \displaystyle \int \bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx

Birinci terim:

\int 3\sqrt{x}\,dx

= $$\int 3x^{1/2},dx$$

= $$3\int x^{1/2},dx$$

= $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}$$

= $$3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}$$

= $$2x^{3/2}$$

İkinci terim:

\int -2\sqrt[3]{x}\,dx

= $$\int -2x^{1/3},dx$$

= $$-2\int x^{1/3},dx$$

= $$-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}$$

= $$-2\cdot\frac{3}{4}x^{4/3}$$

= $$-\frac{3}{2}x^{4/3}$$

Toplam antiderivatif:

2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

(b) \displaystyle \int \bigl(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\bigr)\,dx

Not: Burada \sqrt{x^2}=|x| dir; bu tür TYT alıştırmalarında genellikle x\ge 0 kabul edilir. x\ge0 kabulü ile devam ediyorum.

Birinci terim:

\int x^{3/2}\,dx

= $$\frac{x^{5/2}}{5/2}$$

= $$\frac{2}{5}x^{5/2}$$

İkinci terim:

\int -5\sqrt{x^2}\,dx

= $$\int -5x,dx$$

= $$-5\int x,dx$$

= $$-5\cdot\frac{x^2}{2}$$

= $$-\frac{5}{2}x^2$$

Toplam antiderivatif:

\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^2+C

(c) \displaystyle \int \bigl(2\sqrt{x^7}+9\sqrt[5]{x^4}\bigr)\,dx

Birinci terim:

\int 2\sqrt{x^7}\,dx

= $$\int 2x^{7/2},dx$$

= $$2\int x^{7/2},dx$$

= $$2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}$$

= $$2\cdot\frac{2}{9}x^{9/2}$$

= $$\frac{4}{9}x^{9/2}$$

İkinci terim:

\int 9\sqrt[5]{x^4}\,dx

= $$\int 9x^{4/5},dx$$

= $$9\int x^{4/5},dx$$

= $$9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}$$

= $$9\cdot\frac{5}{9}x^{9/5}$$

= $$5x^{9/5}$$

Toplam antiderivatif:

\frac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C

Adım 2 — SORU 3 (belirli integraller)

(a) \displaystyle \int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx

Kurulum:

\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx

Hesaplama:

\Bigl[\frac{x^{\pi}}{\pi}\Bigr]_{1}^{2}

= $$\frac{2^{\pi}}{\pi}-\frac{1^{\pi}}{\pi}$$

= $$\frac{2^{\pi}-1}{\pi}$$

(b) \displaystyle \int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx

Kurulum:

\int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx

Hesaplama:

\Bigl[e^{x-1}\Bigr]_{2}^{3}

= $$e^{3-1}-e^{2-1}$$

= $$e^{2}-e^{1}$$

= $$e^{2}-e$$

(c) \displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{\pi}\,dx

Kurulum:

\int_{0}^{\pi} x^{\pi}\,dx

Hesaplama:

\Bigl[\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}\Bigr]_{0}^{\pi}

= $$\frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{0^{\pi+1}}{\pi+1}$$

= $$\frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}$$

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • SORU 2 (a): \displaystyle 2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

  • SORU 2 (b): \displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^2+C (varsayım: x\ge0)

  • SORU 2 (c): \displaystyle \frac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C

  • SORU 3 (a): \displaystyle \frac{2^{\pi}-1}{\pi}

  • SORU 3 (b): \displaystyle e^{2}-e

  • SORU 3 (c): \displaystyle \frac{\pi^{\pi+1}}{\pi+1}
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Potansiyel İntegrasyon
  • Tanım: \int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
  • Bu problemde: Bütün polinom/potans terimleri bu kural ile alındı.
  1. Belirli İntegral Değerlendirmesi
  • Tanım: Antiderivatifin üst ve alt sınırlar farkı alınır.
  • Bu problemde: \displaystyle F(b)-F(a) ile hesaplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Üsleri yanlış dönüştürmek

  • Yanlış: \sqrt{x^3}=x^{3/2} yerine yanlış üs kullanmak.
  • Doğru: \sqrt{x^3}=x^{3/2}
  • Neden yanlış: Kök ve kuvvet dönüştürmelerinde üslerin doğru yazılması gerekir.
  • Düzeltme: \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}

:cross_mark: \sqrt{x^2} yerine hep x almak (işaret dikkati)

  • Yanlış: Her durumda \sqrt{x^2}=x almak.
  • Doğru: \sqrt{x^2}=|x|
  • Neden yanlış: Negatif x durumunda işaret değişir.
  • Düzeltme: Eğer soru bağlamında x\ge0 deniyorsa x alınabilir; aksi hâlde mutlak değer göz önünde bulundurulmalıdır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?