Asaf, dikdörtgen şeklindeki bir kâğıdın içerisine birbirine paralel ve eş aralıklarla aşağıdaki mavi renkli çizgileri çizmiştir.
Aynı renkli ardışık çizgilerin aralarındaki uzaklık santimetre cinsinden bir tam sayıya eşittir.
Çizilen mavi renkli çizgi sayısı, kırmızı renkli çizgi sayısından 8 adet fazla olduğuna göre dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu kaç santimetre olabilir?
A) 150
B) 180
C) 200
D) 240
Dikdörtgende Eş Aralıklı Çizgiler ve EBOB-EKOK Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bu soru, LGS Çarpanlar ve Katlar ünitesine ait bir aralık-çizgi sayısı problemidir. Bir doğru parçası boyunca eşit aralıklarla çizilen çizgilerde; \text{Çizgi Sayısı} = \frac{\text{Toplam Uzunluk}}{\text{Aralık Uzunluğu}} + 1 bağıntısı geçerlidir. Dolayısıyla uzun kenar uzunluğu, ardışık çizgiler arasındaki tam sayı olan aralıkların ortak bir katı (veya böleni) olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Çizgilerin Konumu ve Başlangıç-Bitiş Noktalarının Analizi
- Mavi çizgiler: Dikdörtgenin sol üst köşesinden başlayıp sağ alt köşesinde son bulmaktadır. Dolayısıyla kâğıdın uzun kenarı boyunca ardışık mavi çizgiler arasındaki yatay uzaklık bir x tam sayısıdır.
- Kırmızı çizgiler: Dikdörtgenin sol alt köşesinden başlayıp sağ üst köşesinde son bulmaktadır. Dolayısıyla ardışık kırmızı çizgiler arasındaki yatay uzaklık bir y tam sayısıdır.
Her iki renk çizgi grubu da dikdörtgenin uzun kenarını (L) baştan sona tam olarak katetmektedir. Çizgiler uç noktalarda da yer aldığından:
\text{Mavi Çizgi Sayısı} = \frac{L}{x} + 1, \quad \text{Kırmızı Çizgi Sayısı} = \frac{L}{y} + 1
Adım 2 — Çizgi Sayıları Arasındaki Fark Eşitliği
Soruda mavi çizgi sayısının, kırmızı çizgi sayısından 8 fazla olduğu belirtilmiştir:
\left(\frac{L}{x} + 1\right) - \left(\frac{L}{y} + 1\right) = 8 \implies L \cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) = 8 \implies L \cdot \left(\frac{y - x}{x \cdot y}\right) = 8
Buradan uzun kenar uzunluğu (L):
L = \frac{8 \cdot x \cdot y}{y - x}
elde edilir. Burada x ve y pozitif tam sayılardır (y > x).
Adım 3 — Seçeneklerin Uygunluk Kontrolü
Denklem gereği L sayısı; payında 8 çarpanını bulundurduğundan, uygun x ve y tam sayıları için \frac{L}{8} = \frac{x \cdot y}{y - x} ifadesi bir tam sayı (veya iki ardışık çarpanın çarpımı) şeklinde yazılabilmelidir. Seçenekleri L = 240 değeri için test edelim:
- L = 240 için:\frac{240}{8} = 30 \implies \frac{x \cdot y}{y - x} = 30Eğer y - x = 1 alınırsa (aralarındaki fark 1 cm olan ardışık tam sayılar):x \cdot y = 30 \implies x = 5 \text{ cm}, \quad y = 6 \text{ cm}
- Mavi çizgi sayısı: \frac{240}{5} + 1 = 48 + 1 = 49
- Kırmızı çizgi sayısı: \frac{240}{6} + 1 = 40 + 1 = 41
- Çizgi sayısı farkı: 49 - 41 = 8 adet (Koşulu tam olarak sağlar).
Diğer seçenekler (150, 180, 200) incelendiğinde; 150 ve 200 sayıları hem 5 ve 6’ya aynı anda tam bölünemez hem de x, y aralıkları için tam sayı şartını sağlayan ardışık bölen farkı 8’i vermez.
CEVAP: D) 240 (L = 240\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Aralık sayısı ile nesne/çizgi sayısı arasındaki ilişki \text{Aralık Sayısı} = \text{Çizgi Sayısı} - 1’dir. Bu tip sorularda fark 8 ise, uzunluğun \frac{L}{x} - \frac{L}{y} = 8 biçiminde iki tam sayının böleni olması gerekir. 240, hem 5’e (48) hem de 6’ya (40) bölündüğünde bölüm farkı tam olarak 48 - 40 = 8 gelmektedir.