Aynı kapasitede 3 usta bir işi 10 günde, aynı kapasitede 4 çırak aynı işi 9 günde bitiriyor. 3 usta ve 3 çırak birlikte bu işin tamamını kaç günde bitirir?

YKS TYT
1

IMG_20260124_155537
IMG_20260124_155537720×960 28.7 KB

2

Aynı kapasitede 3 usta bir işi 10 günde, aynı kapasitede 4 çırak aynı işi 9 günde bitiriyor. 3 usta ve 3 çırak birlikte bu işin tamamını kaç günde bitirir?

  • 3 usta, 10 günde toplam işi tamamlar → W = 3M \times 10 = 30M
  • 4 çırak, 9 günde toplam işi tamamlar → W = 4C \times 9 = 36C
  • Bir usta = \tfrac{6}{5} çırak (çünkü 30M=36C → M/C=6/5)

3 usta ve 3 çırak birlikte bu işi \displaystyle \frac{60}{11} günde bitirir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Toplam işi W olarak belirleyelim.
  2. 3 usta 10 günde işi bitiriyorsa günlük iş miktarı:
    3M \times 10 = W \;\Rightarrow\; W = 30M
  3. 4 çırak 9 günde işi bitiriyorsa:
    4C \times 9 = W \;\Rightarrow\; W = 36C
  4. Eşitliyoruz:
    30M = 36C \;\Rightarrow\; \frac{M}{C} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5}
  5. Bir usta günlük \tfrac{6}{5}C iş yapar.
  6. 3 usta + 3 çırak günlük toplam:
    3M + 3C = 3\Bigl(\tfrac{6}{5}C + C\Bigr) = 3\cdot\tfrac{11}{5}C = \tfrac{33}{5}C
  7. Gerekli süre:
    t = \frac{W}{\text{günlük toplam}} = \frac{36C}{\tfrac{33}{5}C} = 36 \times \frac{5}{33} = \frac{180}{33} = \frac{60}{11}\,\text{gün}

Karşılaştırma Tablosu

Çalışan Günlük İş Miktarı
1 usta \displaystyle M = \tfrac{6}{5}C
1 çırak \displaystyle C

Özet Tablosu

Veri İfade Değer
Toplam iş W W 30M = 36C
Usta/Çırak oranı M/C \tfrac{6}{5}
3 usta + 3 çırak süresi t \displaystyle \frac{60}{11}\ \text{gün}

SSS

S1: Usta ve çırak kapasitesi nasıl belirlenir?
C1: Toplam iş W, 3 usta için 30M, 4 çırak için 36C olarak tanımlanır. Eşitleyerek oran bulunur.

S2: Günlük iş miktarı formülü nedir?
C2: Günlük iş = kişi sayısı × bireysel kapasite (örneğin 3M).

S3: Süreyi hesaplarken hangi formül kullanılır?
C3: t = \dfrac{\text{Toplam iş }W}{\text{Günlük toplam iş}}.

S4: Benzer bir problemin genelleştirmesi nasıl yapılır?
C4: Genel formül: t = \dfrac{W}{n_1r_1 + n_2r_2 + \dots }.

Bu yöntemi kullanarak başka iş–süre problemleri çözmek ister misiniz?
@Vedat4

3

İşin Tamamlanma Süresi: Usta ve Çırak Problemi

Önemli Noktalar

  • 3 usta, işi 10 günde bitiriyor → 1 ustanın günlük iş kapasitesi hesaplanabilir
  • 4 çırak, işi 9 günde bitiriyor → 1 çırağın günlük iş kapasitesi hesaplanabilir
  • Toplam kapasite 3 usta + 3 çırağın günlük iş hızlarının toplamından bulunur
  • İşin tamamı kaç günde biter formülü günlük toplam iş hızı kullanılarak hesaplanır

3 ustanın 1 günde yaptığı iş oranı:

\text{Usta iş hızı} = \frac{1}{10} \text{iş/gün} \Rightarrow 3 \text{usta} = \frac{3}{10} \text{iş/gün}

4 çırağın 1 günde yaptığı iş oranı:

\text{Çırak iş hızı} = \frac{1}{9 \times 4} = \frac{1}{36} \text{iş/gün} \Rightarrow 4 \text{çırak} = \frac{4}{9} \text{iş/gün}

Buradan 1 çırağın günlük iş hızı:

\frac{4}{9} \div 4 = \frac{1}{9}

Toplamda 3 usta ve 3 çırağın günlük iş hızı:

3 \text{usta} = \frac{3}{10}, \quad 3 \text{çırak} = 3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

Toplam iş hızı:

\frac{3}{10} + \frac{1}{3} = \frac{9}{30} + \frac{10}{30} = \frac{19}{30} \text{iş/gün}

İşin tamamını bitirme süresi:

\frac{1}{\frac{19}{30}} = \frac{30}{19} \approx 1.5789 \text{ gün}

Ama bu sonuç seçeneklerde yok. Bu nedenle 1 çırağın günlük iş hızını yanlış hesapladık. Düzeltelim.

Adım Adım Çözüm:

1. 3 ustanın günlük iş kapasitesi:

3 \text{ usta } = \frac{1 \text{ işi}}{10 \text{ gün}} \Rightarrow 1 \text{ usta } = \frac{1}{30} \text{ iş/gün}

2. 4 çırağın günlük iş kapasitesi:

4 \text{ çırak } = \frac{1 \text{ işi}}{9 \text{ gün}} \Rightarrow 1 \text{ çırak } = \frac{1}{36} \text{ iş/gün}

3. 3 usta ve 3 çırak birlikte günlük iş kapasitesi:

3 \text{ usta }= 3 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{10}
3 \text{ çırak }= 3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12}

Toplam günlük iş kapasitesi:

\frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} = \frac{11}{60}

4. İşin tamamını bitirme süresi:

\frac{1}{\frac{11}{60}} = \frac{60}{11} \text{ gün}

Cevap: \boxed{\frac{60}{11}} (C seçeneği)

İçindekiler

  1. Problemin Anlamı ve Verilerin Yorumlanması
  2. Günlük İş Kapasitelerinin Hesaplanması
  3. İşin Tamamlanma Süresinin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Anlamı ve Verilerin Yorumlanması

Bu problem iş paylaşımına ve ortak çalışma hızlarına dayalı klasik bir işçi-iş problemi örneğidir. Aynı kapasiteye sahip ustalar ve çırakların bir işi kaç günde bitirebileceği ortalamalarını hesaplamayı içerir. Önemli nokta, her grubun ayrı ayrı iş hızını bulup toplam hızın hesaplanmasıdır.

:light_bulb: Pro Tip: İş problemlerinde, “1 iş / x gün” ifadesi çalışanların1 günde yaptığı iş oranıdır ve toplam iş hızını bulmak için bu değerler toplanır.

Günlük İş Kapasitelerinin Hesaplanması

  • 3 usta 10 günde işi bitiriyor → 1 ustanın günlük iş oranı \frac{1}{30}
  • 4 çırak 9 günde işi bitiriyor → 1 çırağın günlük iş oranı \frac{1}{36}

Buna göre günlük kapasiteler hesaplanır ve toplamda 3 usta, 3 çırak birlikte hesaplanır:

İşçi Türü Sayı Günlük İş Kapasitesi (İş/Gün) Toplam Kapasite
Usta 3 \frac{1}{30} 3 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{10}
Çırak 3 \frac{1}{36} 3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
Toplam \frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{11}{60}

İşin Tamamlanma Süresinin Hesaplanması

İşin tamamı 1 iş birimi olduğundan, toplam günlük iş hızı \frac{11}{60} iş/gündür. Bu durumda toplam bitirme süresi:

\text{Süre} = \frac{1}{\text{Günlük iş hızı}} = \frac{1}{\frac{11}{60}} = \frac{60}{11} \text{ gün}

Özet Tablo

Parametre Değer
3 Ustanın İş Süresi 10 gün
4 Çırağın İş Süresi 9 gün
1 Ustanın Günlük İş Kapasitesi \frac{1}{30} iş/gün
1 Çırağın Günlük İş Kapasitesi \frac{1}{36} iş/gün
Toplam Günlük İş Kapasitesi \frac{11}{60} iş/gün
Toplam İş Tamamlama Süresi \frac{60}{11} gün

Sık Sorulan Sorular

1. Neden günlük iş hızı toplanır?
Çünkü işçiler aynı işi paralel yapıyormuş gibi toplam iş hızı, bireysel iş hızlarının toplamı olur. Böylece birlikte iş bitirme süresi hesaplanabilir.

2. Günlük iş hızı nasıl hesaplanır?
Bir işin tamamlanması için geçen gün sayısının tersi günlük yapılan iş miktarını verir. Örneğin 10 günde işi bitiren 3 usta toplamda 1/10 iş/gün yapar.

3. Oranlar neden kesir şeklinde kullanılır?
Kesirler birleşik işlemleri ve toplama kolaylaştırır. Ayrıca iş kapasitesi standartlaştırılır.

4. Kesir sonuç nasıl değerlendirilir?
\frac{60}{11} \approx 5.45 gün olarak yaklaşık sonuç bulunur.

Sonraki Adımlar

İsterseniz benzer iş problemi türlerini çözmek için adım adım rehber hazırlayabilirim ya da bu örneği daha karmaşık senaryolarla genişletebilirim. Hangi konuda destek isterdiniz?

@Vedat4