Aynı düzlemdeki vec{F_{1}}, vec{F_{2}} ve vec{F_{3}} kuvvetleri şekilde verilmiştir.
Buna göre \vec{F_{1}}, \vec{F_{2}} ve \vec{F_{3}} kuvvetlerinin bileşkesi kaç N dur? ( os37^irc = 0,8 ; \sin37^irc = 0,6 alınız.)
A) 5\sqrt{2}
B) 10\sqrt{2}
C) 15\sqrt{2}
D) 20\sqrt{2}
E) 25\sqrt{2}
Aynı Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Eksen döndürme yöntemi (vektörleri birbirine dik yeni x'-y' eksenlerine göre bileşenlerine ayırma)
- Bir vektörün dik bileşenleri: F_x = F \cdot \cos\alpha, F_y = F \cdot \sin\alpha
- Dik bileşkelerin büyüklüğü: R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \vec{F}_1 ve \vec{F}_2 Kuvvetleri Arasındaki Açıyı Belirleme
- \vec{F}_2 kuvveti +x ekseni ile 43^\circ açı yapmaktadır.
- \vec{F}_1 kuvveti -x ekseni ile 47^\circ açı yapmaktadır.
- İki kuvvet arasındaki toplam açı:
43^\circ + 90^\circ + (90^\circ - 47^\circ) = 43^\circ + 47^\circ = 90^\circ
- Bu durum \vec{F}_1 ile \vec{F}_2 kuvvetlerinin birbirine tam olarak dik olduğunu gösterir.
Adım 2 — Yeni Bir Koordinat Sistemi (x'-y') Tanımlama
İşlemleri kolaylaştırmak için eksenleri döndürelim:
- +x' eksenini \vec{F}_2 doğrultusunda seçelim.
- +y' eksenini \vec{F}_1 doğrultusunda seçelim.
Bu durumda: - \vec{F}_2 kuvvetinin bileşenleri: F_{2x'} = +10\text{ N}, F_{2y'} = 0\text{ N}
- \vec{F}_1 kuvvetinin bileşenleri: F_{1x'} = 0\text{ N}, F_{1y'} = +20\text{ N}
Adım 3 — \vec{F}_3 Kuvvetinin Yeni Eksenlerdeki Açısını Bulma
- -x' ekseni, \vec{F}_2’nin tam zıttı olup -x ekseninin 43^\circ altındadır.
- -y ekseni ile -x' ekseni arasındaki açı: 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ olur.
- Şekilde \vec{F}_3 kuvvetinin -y ekseni ile yaptığı açı 10^\circ olarak verilmiştir.
- Dolayısıyla \vec{F}_3 kuvvetinin -x' ekseni ile yaptığı açı:
47^\circ - 10^\circ = 37^\circ
Adım 4 — \vec{F}_3 Kuvvetini x'-y' Eksenlerinde Bileşenlerine Ayırma
- \vec{F}_3, -x' ve -y' eksenleri arasında 37^\circ açı yapmaktadır:
F_{3x'} = -F_3 \cdot \cos 37^\circ = -10\text{ N} \cdot 0,8 = -8\text{ N}
F_{3y'} = -F_3 \cdot \sin 37^\circ = -10\text{ N} \cdot 0,6 = -6\text{ N}
Adım 5 — Toplam Bileşenleri (R_{x'} ve R_{y'}) Hesaplama
- x' eksenindeki toplam kuvvet:
R_{x'} = F_{2x'} + F_{1x'} + F_{3x'} = 10\text{ N} + 0\text{ N} - 8\text{ N} = +2\text{ N}
- y' eksenindeki toplam kuvvet:
R_{y'} = F_{2y'} + F_{1y'} + F_{3y'} = 0\text{ N} + 20\text{ N} - 6\text{ N} = +14\text{ N}
Adım 6 — Bileşke Kuvvetin Büyüklüğünü Hesaplama
R = \sqrt{R_{x'}^2 + R_{y'}^2}
R = \sqrt{(2\text{ N})^2 + (14\text{ N})^2}
R = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\text{ N}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 10\sqrt{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eksen Döndürme Yöntemi
- Tanım: Standart x-y eksenlerine göre trigonometrik değerleri bilinmeyen açılarda (43^\circ, 47^\circ), birbirine dik vektörler doğrultusunda yeni bir eksen takımı tanımlama yöntemidir.
- Bu problemde: \vec{F}_1 ve \vec{F}_2 arasındaki 90^\circ’lik açı kullanılarak hesaplama 37^\circ-53^\circ özel üçgenine dönüştürülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Standart x-y Eksenlerine Ayırmaya Çalışmak
- Yanlış: \sin 43^\circ ve \cos 47^\circ değerlerini doğrudan hesaplamaya çalışmak.
- Doğru: Vektörlerin birbirleri arasındaki bağıl açıları bularak bilinen \sin 37^\circ ve \cos 37^\circ değerlerini kullanmak.
- Neden yanlış: 43^\circ ve 47^\circ standart trigonometrik tablolarda pratik olarak verilmez; sorunun kurgusu özel açı farklarını (47^\circ - 10^\circ = 37^\circ) kullanmaya yöneliktir.
Vektörlerde eksen döndürme yöntemiyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?