Aynı asal bölenlere sahip doğal sayılara türdeş sayılar denir

YKS TYT
1

Aynı asal bölenlere sahip doğal sayılara türdeş sayılar denir.
Örneğin; 6 ve 12 sayılarının her ikisinin de asal bölenleri 2 ve 3 olduğundan 6 ve 12 türdeş sayılardır.
120 sayısı ile üç basamaklı 4ab sayısı türdeş sayılar olduğuna göre a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

Aynı asal bölenlere sahip doğal sayılara türdeş sayılar denir.
Aynı asal bölenlere sahip doğal sayılara türdeş sayılar denir.1024×768 85.3 KB

2

Türdeş Sayılar ve Asal Çarpanlar

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İki sayının türdeş olması için asal bölen kümelerinin birebir aynı olması gerekir.
  • Bir N sayısının asal çarpanları kümesi P(N) olmak üzere, P(120) = P(4ab) şartı sağlanmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 120 Sayısının Asal Bölenlerini Bulma
120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1

Buradan 120 sayısının asal bölenleri kümesi \{2, 3, 5\} olarak bulunur.

Adım 2 — Üç Basamaklı 4ab Sayısının Yapısını Belirleme
4ab sayısı ile 120 türdeş olduğuna göre, 4ab sayısının asal bölenleri de yalnızca 2, 3 ve 5 olmalıdır:

4ab = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z \quad (x, y, z \ge 1)

Bu şart, 4ab sayısının 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30’un bir tam katı olmasını ve 4ab’nin başka hiçbir asal çarpana (7, 11, 13 vb.) sahip olmamasını gerektirir:

4ab = 30 \cdot k

Adım 3 — 400 \le 4ab \le 499 Aralığındaki Değerleri İnceleme
400 ile 499 aralığındaki 30’un katlarını belirleyelim:

\frac{400}{30} \approx 13{,}3 \implies k \in \{14, 15, 16\}

Şimdi her bir k değerini asal çarpanları açısından inceleyelim:

  • k = 14 için:

    4ab = 30 \cdot 14 = 420
    420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

    7 asal çarpanı bulunduğu için 420 sayısı 120 ile türdeş değildir.

  • k = 15 için:

    4ab = 30 \cdot 15 = 450
    450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2

    Asal bölenleri sadece \{2, 3, 5\} olduğundan şartı sağlar.

    4ab = 450 \implies a = 5, \; b = 0

  • k = 16 için:

    4ab = 30 \cdot 16 = 480
    480 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5

    Asal bölenleri sadece \{2, 3, 5\} olduğundan şartı sağlar.

    4ab = 480 \implies a = 8, \; b = 0

Adım 4 — a’nın Alabileceği Değerler Toplamı
a’nın alabileceği değerler 5 ve 8’dir:

5 + 8 = 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Türdeş Sayılar: Kuvvetleri farklı olsa dahi tabandaki asal çarpanları tamamen aynı olan sayılardır.
  • Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayının sadece asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasıdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 400 ile 499 arasındaki tüm 30’un katlarını (420, 450, 480) doğrudan alıp a = 2, 5, 8 diyerek toplamı 15 bulmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: 420 sayısının içinde fazladan 7 asal çarpanı bulunduğunu fark edip bu değeri elemek.

Benzer mantıkta bir asal çarpan sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?