Aylin ve Efe’nin Balonlarının Zamana Bağlı Yerden Yükseklik Fonksiyonları

YKS TYT
1

17697795963283387959119767770324
17697795963283387959119767770324720×960 34.2 KB

2

Gazlarla İlgili Fonksiyon Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Aylin ve Efe’nin balonlarının yerden yükseklikleri (m) ve zaman (sn) verilmiş.
  • Bu değerlerden balonların yüksekliklerini zamana bağlı gösteren fonksiyonlar, yani g(t) ve h(t), bulunmalı.
  • Fonksiyonların grafik dönüşümü, özellikleri ve eşit yükseklik durumlarının zamanı istenmekte.

Aylin ve Efe’nin balonlarının yere bağlı yükseklikleri verilen tabloya göre zamana bağlı fonksiyonlar:

  • g(t) = Aylin’in balon yüksekliği fonksiyonu (t süre)
  • h(t) = Efe’nin balon yüksekliği fonksiyonu (t süre)

İçindekiler

  1. Fonksiyonların Cebirsel Temsili
  2. Fonksiyonların Grafiklerinin Çizimi
  3. Fonksiyonların Niteliklerinin Doldurulması
  4. Balonların Yerden Yükseklikleri Aynı Olduğu Zaman

1. Fonksiyonların Cebirsel Temsili

Tablodaki verilere göre, her balonun yükseklik fonksiyonu zamana bağlı doğru denklemi (linear function) olarak bulunabilir.

Aylin’in balonu (g(t)) için;

Süre (t) Yükseklik (m)
0 10
2 20
5 35
9 55
14 80

Birinci derece fonksiyon denklemi:
g(t) = mt + b

  • Eğimi (m) hesapla:
m = \frac{20 - 10}{2 - 0} = \frac{10}{2} = 5
  • Başlangıç yüksekliği (b): 10 (t=0 iken değer).
  • O halde:
g(t) = 5t + 10

Efe’nin balonu (h(t)) için;

Süre (t) Yükseklik (m)
0 18
2 24
5 33
9 45
14 60
  • Eğimi (m):
m = \frac{24 - 18}{2 - 0} = \frac{6}{2} = 3
  • Başlangıç yüksekliği (b): 18
  • Denklem:
h(t) = 3t + 18

2. Fonksiyonların Grafiklerinin Çizimi

Görev: f(x) = x doğru fonksiyonunun grafik referans alınarak, g(t) ve h(t) fonksiyonlarına dönüşüm uygulanacak.

  • g(t) = 5t + 10 için:

    • f(x) = x doğrusunu; eğimi 5, y-kesiti 10 olan doğruya çevir.
    • Yani: yatay sıkıştırma/germe (eğim ile) ve yukarı kaydırma (y-kesiti) yap.

  • h(t) = 3t + 18 için:

    • Eğimi 3, y-kesiti 18 olan doğru grafiği çizilir.

Not: Her iki grafik de doğru şeklinde, t=0da yükseklikleri 10 ve 18 m’dir. Eğimi yüksek olan doğru daha dik çıkar.

:light_bulb: Pro Tip: Referans doğru f(x) = x’i y = mx + b formuna çevirirken, m eğim, b y-kesişi olarak düşünülür.

3. Fonksiyonların Nitelikleri

Niteliği g(t)=5t+10 h(t)=3t+18
En Geniş Tanım Kümesi \mathbb{R} (tüm gerçek sayılar) \mathbb{R} (tüm gerçek sayılar)
Görüntü Kümesi [10, \infty) [18, \infty)
Fonksiyonun Sınırı Alt sınır: 10 Alt sınır: 18
Fonksiyon İşareti Pozitif eğimli (+) Pozitif eğimli (+)
Maksimum Nokta Yok (doğrusal artış) Yok
Minimum Nokta Başlangıç noktası: 10 Başlangıç noktası: 18
Birleşim Birliği Tüm \mathbb{R} için tanımlı Tüm \mathbb{R} için tanımlı
Artan/Azalan Aralıklar Sürekli artan (eğim pozitif) Sürekli artan (eğim pozitif)

4. Balonların Yerden Yükseklikleri Kaçıncı Saniyede Eşit Olur?

Eşitlik durumu:

g(t) = h(t)
5t + 10 = 3t + 18
5t - 3t = 18 - 10
2t = 8
t = 4 \text{ saniye}

Yani 4. saniyede iki balonun yerden yükseklikleri eşittir.

Özet Tablo

Soru Maddesi Cevap
g(t) Fonksiyonu g(t) = 5t + 10
h(t) Fonksiyonu h(t) = 3t + 18
Fonksiyon Grafikleri Referans f(x) = x doğrusunun eğim ve kaydırma dönüşümüyle çizilir.
Eşitlik Zamanı 4 saniye
Fonksiyon Nitelikleri Sürekli artan, minimum değerleri sırasıyla 10 ve 18, tanım kümesi \mathbb{R}

Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonların grafik dönüşümü neden f(x) = x doğrusundan yapılır?
Çünkü f(x) = x doğru fonksiyonu temel referans olup, diğer doğrusal fonksiyonlar eğim ve y-kesişi değiştirerek buna dönüştürülebilir.

2. Fonksiyonlar neden artandır?
Eğimler pozitif olduğu için (5 ve 3), fonksiyonların değerleri zaman arttıkça sürekli yükselir.

3. Fonksiyonların tanım kümesi neden tüm gerçek sayılar?
Zaman sürekli ve pozitif olsa da matematiksel fonksiyon ifadesinde t tüm reel sayılar alınabilir. Gerçekçi uygulamada t ≥ 0 alınır.

Sonraki Adımlar

Bu tip sorularda fonksiyonların grafik dönüşümlerini detaylandırmak ister misiniz? Ayrıca, fonksiyonların grafik özelliklerine göre gerçek hayat uygulamaları üzerine örnekler sunabilirim.

@Fatma75

3

Aylin ve Efe’nin Balonlarının Zamana Bağlı Yerden Yükseklik Fonksiyonları

Önemli Noktalar

  • Aylin’in fonksiyonu g(t)=5t+10, Efe’nin fonksiyonu h(t)=3t+18 olarak bulunur.
  • Her iki fonksiyon da birinci derece, sürekli ve tüm gerçek sayılarda monoton artan doğrusal fonksiyonlardır.
  • Balonların yükseklikleri 4. saniyede eşitlenir ($g(4)=h(4)=30,$m).
  1. Cebirsel Temsil
  2. Grafik Dönüşümleri
  3. Eksen Kesişimleri ve Eğimi
  4. Fonksiyonların Nitel Özellikleri
  5. Karşılaştırma Tablosu
  6. Özet Tablosu
  7. SSS
  8. Yüksekliklerin Eşit Olduğu Zaman

1. Cebirsel Temsil

Aylin ve Efe’nin balonlarının zamana bağlı yerden yükseklik fonksiyonları doğrusal olduğu için

g(t)=5t+10, \qquad h(t)=3t+18

olarak yazılır. Burada t saniye, g(t) ve h(t) ise metre cinsinden yüksekliklerdir.

2. Grafik Dönüşümleri

Referans fonksiyonu f(x)=x alınırsa:

  • g(t)=5t+10 için önce y=5x ile dikey ölçeklendirme (scale by 5), sonra +10 birim yukarı kaydırma.
  • h(t)=3t+18 için önce y=3x ile dikey ölçeklendirme (scale by 3), sonra +18 birim yukarı kaydırma.

3. Eksen Kesişimleri ve Eğimi

  • g(t)=5t+10 eğimi m_g=5
    • y-kesişim: (0,10)
    • x-kesişim: 5t+10=0\;\Rightarrow\;t=-2
  • h(t)=3t+18 eğimi m_h=3
    • y-kesişim: (0,18)
    • x-kesişim: 3t+18=0\;\Rightarrow\;t=-6

4. Fonksiyonların Nitel Özellikleri

Özellik g(t)=5t+10 h(t)=3t+18
En Geniş Tanım Kümesi (-\infty,\infty) (-\infty,\infty)
Görüntü (Değer) Kümesi (-\infty,\infty) (-\infty,\infty)
Fonksiyon Sınıfı Birinci Derece Birinci Derece
İşareti Pozitif: t>-2
Negatif: t<-2		 Pozitif: t>-6
Negatif: t<-6
Süreklilik Sürekli Sürekli
Bire Birlik Evet Evet
Artan Olduğu Aralıklar (-\infty,\infty) (-\infty,\infty)
Azalan Olduğu Aralıklar Yok Yok
Maksimum Nokta Yok Yok
Minimum Nokta Yok Yok

5. Karşılaştırma Tablosu

Özellik g(t)=5t+10 h(t)=3t+18
Eğimi (m) 5 3
y-kesişim 10 18
x-kesişim -2 -6
Monotonluk Tamamen artan Tamamen artan
Yatay Kayma +10 +18
Dikey Ölçek 5 katı 3 katı

6. Özet Tablosu

Fonksiyon Denklem Eğimi y-kesişimi x-kesişimi Artan Aralık
Aylin: g(t) 5t+10 5 (0,10) (-2,0) (-\infty,\infty)
Efe: h(t) 3t+18 3 (0,18) (-6,0) (-\infty,\infty)

7. SSS

Soru: Lineer fonksiyonun grafiğini oluşturmak için hangi temel adımlar izlenir?
Cevap: Eğimi hesapla, y-kesişim noktasını bul, bu iki noktayı işaretle, doğruyu çiz.

Soru: İki doğrusal fonksiyonun kesişme noktasını nasıl buluruz?
Cevap: Fonksiyonları eşitleyip denklemi çözüp t değerini elde ederiz.

Soru: Birinci derece fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu nasıl anlarız?
Cevap: Eğimi pozitifse artan, negatifse azalan fonksiyondur.

8. Yüksekliklerin Eşit Olduğu Zaman

g(t)=h(t) koşulunu sağlayan zamanı bulmak için:

5t+10=3t+18 \quad\Longrightarrow\quad 2t=8 \quad\Longrightarrow\quad t=4\ \text{saniye}.

Balonlar 4. saniyede aynı yüksekliğe ulaşır.

Benzer doğrusal fonksiyon sorularında pratik yapmak ister misiniz? @Fatma75