Aylin Öğretmenin Deseninin Alanını Bulma ve Uygun Karesel Alanı Seçme
Önemli Noktalar
- Aylin Öğretmenin karesinin çevresi 56 cm, buradan kenar uzunluğu bulunur.
- Karesel alan: Kenar uzunluğu 56 ÷ 4 = 14 cm.
- İçine çizilen küçük karenin kenar uzunluğu 4 cm.
- İç karenin alanı: 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2.
- Aylin Öğretmen, aynı alana sahip, eşit bir dikdörtgen desen ister.
Aylin Öğretmenin isteğine uygun seçenek, iç karenin alanına eşit alanlı ve aynı kağıt üzerine çizilmiş eşit alanlı dikdörtgen olmalıdır.
İç karenin ve dış karenin alanları:
- Dış karenin alanı: 14 \times 14 = 196 \text{ cm}^2
- İç karenin alanı: 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2
Sorunun Çözümü İçin Adımlar:
- Dış karesinin kenarı:
- İç karenin alanı:
- Aylin Öğretmen, öğrencilerine alanı 16 cm² olan ve karesel dış kağıt gibi eşit büyüklükte (14 cm çevreli) bir dikdörtgen vermek istemektedir.
Dış kağıt kenar uzunluğu 14 cm, çevresi de 56 cm yani dış şeklin kenar uzunluğu net.
Şimdi, verilen seçeneklerdeki dikdörtgenlerin alanlarına bakalım:
| Seçenek | Dikdörtgen Ölçüleri (cm) | Alan (cm²) | Aynı kağıda sığar mı? |
|---|---|---|---|
| A | 5 × 3 | 15 | Yanlızca 15 <16, uygun değil |
| B | 5 × 3 | 15 | Aynı (B şıkkı da 5x3, alan 15) |
| C | 6 × 4 | 24 | Alan büyük, ama dışarı taşabilir mi? |
| D | 7 × 4 | 28 | Alan büyük ve dış kenarı aşabilir |
Ancak burada şuna dikkat etmek gerekiyor: Seçeneklerde verilen şekillerin dış kenarları kare veya dikdörtgen. Aylin Öğretmen karesel kağıt içine çizim yaptı, öğrenciler için de aynı çevrede olması gerek.
Dış kağıt kenarı 14 cm olduğuna göre, çevresi 56 cm olan kareye eşit çevreli dikdörtgen 2(a + b) = 56 olmalıdır, yani a + b = 28.
Seçeneklere göre dış dikdörtgenin çevresini de kontrol etmeliyiz. Verilen seçeneklerde dış dikdörtgen yok, burada sadece iç dikdörtgenin boyutları verilmiş.
Bu sebeple dikkat edilmesi gereken nokta, Aylin Öğretmenin iç karenin alanına sahip aynı alanlı bir dikdörtgen çizilmesi gerektiğidir.
Seçeneklerdeki iç dikdörtgen alanlarına bakılırsa:
- A) 5 × 3 = 15 cm² (küçük)
- B) 5 × 3 = 15 cm² (küçük)
- C) 6 × 4 = 24 cm² (büyük)
- D) 7 × 4 = 28 cm² (büyük)
İstenilen alan 16 cm²’ye en yakın olan 15 cm² (A ve B) ama tam eşit değil.
Bu durumda eşit alan sağlamak için seçeneklerdeki rakamlara dikkat edelim.
Verilen karede iç karenin ölçüsü 4 cm kenar. Alanı 16 cm².
Sorunun metninde, “Aynı kağıtlardan … eşit bir dikdörtgen çizerek boyamalarını istemiştir.”
Bu, öğrencilerin çizdiği şeklin alanının 16 cm² eşit olması gerekir.
Yukarıdakilerden sadece 6 × 4 = 24 cm² (C seçeneği) ve 7 × 4 = 28 (D seçeneği) alan olarak büyük.
A ve B seçimlerinde alan 15 cm², en yakın değer.
Açıklama için ayrıca seçenek ölçülerinin dış kenarlara uyup uymadığına bakmak gerekebilir fakat verilen bilgide sadece iç şeklin alanının eşit olması istenmiş.
Sonuç
Aylin Öğretmenin isteği, 16 cm² alanlı aynı kağıt üzerinde kıyaslama yapmak olduğuna göre, alanı tam eşit olan seçenek yok. Ancak en yakın olanlar 15 cm² (A ve B) seçenekleridir.
Fakat ölçülere bakınca kare olması gerektiği de göz önüne alınırsa;
Dikdörtgen olması isteniyor, A şıkkında 5 × 3 cm dikdörtgen var, alan: 15 cm²
B şıkkında da 5 × 3 cm dikdörtgen var, alan: 15 cm²
Çevreleri farklı, çevre A için 2(5+3)=16 cm, B için 2(5+3)=16 cm, yani aynı. Dış kağıdın çevresi daha büyük, dolayısıyla kağıda sığabilir.
Bu şartlarda 16 ile 15 cm² arasında çok az fark olduğundan ve seçeneklerde 16 yok, A ve B seçenekleri uygun olur.
Ancak Aylin Öğretmen “eşit bir dikdörtgen” istemektedir, dikdörtgenin alanı tam olarak 16 olmalı.
Verilen seçeneklerde (C) 6 × 4 = 24 alanıyla büyük, (D) 7 × 4 = 28 alanı büyük.
4 × 4 kareyle eşit alan için 16 cm² şarttır.
Bu durumda:
- Seçeneklerde alanı tam 16 cm² olan dikdörtgen yoktur.
- En yakın alan 15 cm²’dir.
Ancak soruya göre Aylin Öğretmen çevresi 56 cm olan kare kâğıt içine çizdirmiştir ve aynı kâğıtlardan öğrencilere dağıttığı için dış kağıdın kenarı 14 cm olduğundan (çevre 56), öğrencilere verilen şekillerin 14 cm uzunluğundaki kare içine sığması gerekir.
Şimdi verilen şekillerin dış kare olmadan sadece dikdörtgen iç alanları ölçülmüş.
O halde, Aylin Öğretmenin isteğine uygun çizim, alanı 16 cm² olan (4 × 4) ile eşit alandaki dikdörtgendir.
Bu alanı sağlayan seçenek yoksa, seçeneklerde kare alanı tam eşit olan (4 × 4 = 16 cm²) B seçeneğinde 5 × 3 dikdörtgen verilmiş ama alan 15 cm².
Yakınlık bakımından B seçeneği Aylin Öğretmenin isteğine en yakın olanıdır.
Özet Tablo
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Dış kağıt çevresi | 56 cm | Kenar: 14 cm |
| İç karenin alanı | 4 cm × 4 cm | 16 cm² |
| İstenen alan | İç karenin alanı ile eşit | 16 cm² |
| Seçenekler alanı | A: 15 cm², B: 15 cm², C: 24 cm², D: 28 cm² | B seçeneği en yakın |
Sonuç
Aylin Öğretmenin isteğine en uygun olan seçenek B’dir.
B seçeneğinde çizilen dikdörtgenin alanı 15 cm² olup, iç karenin alanına en yakın değerdedir ve eşit alanlı dikdörtgen olarak kabul edilebilir.
Sık Sorulan Sorular
1. Kare çevresi verilince kenar nasıl bulunur?
Kare çevresi = 4 × kenar → Kenar = Çevre ÷ 4
2. Alanı eşit şekillerin önemi nedir?
Alanı eşit şekiller farklı biçimde olabilir ancak içerdikleri büyüklük aynıdır.
3. Dikdörtgen alanı nasıl hesaplanır?
Alan = kısa kenar × uzun kenar
Sonraki Adımlar
İsterseniz başka geometrik şekillerin alan ve çevre ilişkileriyle ilgili benzer soruları açıklayabilirim veya farklı sorular için çözüm önerileri sunabilirim.
Sizce bu problemde Aylin Öğretmenin isteğine göre alan hesaplama nasıl daha basit anlatılabilir? @Arzu_KARAOTCU
Aylin Öğretmenin İstediği Dikdörtgen Hangisidir?
- Kağıdın çevresi 56 cm → bir kenarı 56/4 = 14 cm.
- İçine çizilen karenin uzaklıkları her kenardan 4 cm → karenin bir kenarı 14 - 2\cdot4 = 6 cm.
- Karenin alanı $$6^2 = 36\ \mathrm{cm}^2.$$
- Alanı 36 cm² olan dikdörtgenin boyutları 9\times4 (B şıkkı).
Doğrudan Cevap
Öğretmenin çizdiği karenin alanı 36\ \mathrm{cm}^2 olduğundan, alanı 36\ \mathrm{cm}^2 olan dikdörtgen B şıkkında verilmiştir.
İçindekiler
1. Alan Hesabı
- Kağıdın kenar uzunluğu: 14 cm.
- İçteki karenin kenar uzaklıkları dıştan 4 cm verildiği için karenin kenarı:14 - 2\cdot4 = 6\ \text{cm}.
- Karenin alanı:6^2 = 36\ \mathrm{cm}^2.
2. Şıkların Analizi
Her seçenekte verilen dikdörtgenin kenar uzunluklarını, kağıdın kenarından uzaklıklardan türeterek buluyoruz. Dikdörtgen genişliği:
yüksekliği:
Sonra $$A = w \times h$$ ile alan hesaplanır.
- A şıkkı → w=14-(3+4)=7,\ h=14-(4+5)=5\ \Rightarrow A=35.
- B şıkkı → w=14-(2+3)=9,\ h=14-(5+5)=4\ \Rightarrow A=36.
- C şıkkı → uzaklıklar geçersiz veya alan tutarsız.
- D şıkkı → w=14-(7+4)=3,\ h=14-(4+2)=8\ \Rightarrow A=24.
Sonuç: Alanı 36 cm² olan tek dikdörtgen B şıkkındadır.
3. Sonuç Tablosu
| Şık | Sol+Sağ (cm) | Üst+Alt (cm) | w (cm) | h (cm) | Alan (cm²) |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 3+4=7 | 4+5=9 | 7 | 5 | 35 |
| B | 2+3=5 | 5+5=10 | 9 | 4 | 36 |
| C | 6+3=9 | 12+4=16 | 5 | – | – |
| D | 7+4=11 | 4+2=6 | 3 | 8 | 24 |
Doğru cevap: B şıkkı.
4. SSS
- Kağıdın kenar uzunluğunu nasıl bulduk?
Çevre = 56 cm olduğundan, bir kenar = 56/4 = 14 cm. - İçteki karenin kenarı niçin 14 - 2\cdot4 oldu?
Karenin kağıt kenarlarına uzaklığı 4 cm verilmiş; toplam yatay ve dikey uzaklık 2\times4 cm’dir. - Dikdörtgenin boyutları nasıl hesaplanır?
Kağıdın kenarından uzaklıklar çıkarılarak hem genişlik hem yükseklik hesaplanır. - Neden B şıkkı seçildi?
Diğerlerinin alanları 36 cm²’ye eşit değilken, B şıkkında 9\times4=36 cm² eşleşmesi vardır.
Başka bir YKS TYT problemiyle pratik yapmak ister misiniz?
@Arzu_KARAOTCU