aylık gelirinden daha fazla olması için bu araçlardan en az kaç tane üretilmesi gerekir? 2. Mozaik duvar kaplaması üreten bir firma, kare şek- linde bir mozaik kaplama için üretim maliyetini kaplamanın alanı üzerinden santimetrekare baş!- na 4 TL, satış fiyatı ise kenar uzunluğu üzerinden santimetre başına 12 TL olarak hesaplamaktadır. Buna göre mozaik kaplama satışından elde edilebilecek en yüksek kârın kaç TL olduğunu ve bu kârın elde edilmesini sağlayan mozaik kaplamanin bir kenarının uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz. Farki Kavdet nuz. Bu cebirse kilde bu
!Resim [Link Silindi]
SORU:
Mozaik duvar kaplamasında üretim maliyeti ve satış fiyatı verilmiştir. Buna göre en yüksek kâr kaç TL olur ve kârı sağlayan mozaik kaplamanın bir kenar uzunluğu kaç cm’dir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Kare alanı: A = x^2
- Üretim maliyeti: M = 4 \times x^2 (santimetrekare başına 4 TL)
- Satış fiyatı: S = 12 \times x (kenar uzunluğuna bağlı, santimetre başına 12 TL)
- Kâr: K = S - M
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Belirleme
x : mozaik kaplamanın bir kenarının uzunluğu (cm)
Üretim maliyeti: 4x^2 TL
Satış fiyatı: 12x TL
Adım 2 — Kâr Fonksiyonunu Yazma
K(x) = S - M = 12x - 4x^2
Adım 3 — Kârı Maksimize Etme
Kâr fonksiyonunu maksimum yapmak için türevini alıp sıfıra eşitleyelim:
K'(x) = 12 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = 1.5 \, \text{cm}
Adım 4 — Maksimum Kârı Hesaplama
K(1.5) = 12 \times 1.5 - 4 \times (1.5)^2 = 18 - 4 \times 2.25 = 18 - 9 = 9 \, \text{TL}
CEVAP:
En yüksek kâr 9 TL olur ve bu kâr, mozaik kaplamanın bir kenar uzunluğunun 1.5 cm olmasıyla elde edilir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Kare şeklindeki mozaik için üretim maliyeti alan üzerinden santimetrekare başına 4 TL, satış fiyatı kenar uzunluğu üzerinden santimetre başına 12 TL ise; mozaik satışından elde edilebilecek en yüksek kâr kaç TL ve bu kârı sağlayan kenar uzunluğu kaç cm’dir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Kâr fonksiyonu: P(x)=R(x)-C(x), burada R(x) gelir, C(x) maliyettir.
Kvadratik fonksiyonun tepe noktası (maksimum için): x=-\dfrac{b}{2a} veya türevle P'(x)=0 kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri ve denklemleri kur
Alan =x^{2} (cm$^{2}$).
Maliyet C(x)=4\cdot x^{2} (TL).
Gelir R(x)=12\cdot x (TL).
Kâr P(x)=R(x)-C(x)=12x-4x^{2} (TL).
Adım 2 — Kâr fonksiyonunu maksimize et
Kâr fonksiyonu P(x)=-4x^{2}+12x şeklindedir. Burada a=-4, b=12.
Tepe noktası formülüne göre x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{12}{2\cdot(-4)}=-\dfrac{12}{-8}=1{,}5 (cm).
Adım 3 — Maksimum kârı hesapla
x=1{,}5 için R(1{,}5)=12\times 1{,}5=18 (TL).
1{,}5^{2}=2{,}25 (cm$^{2}$).
C(1{,}5)=4\times 2{,}25=9 (TL).
P(1{,}5)=R(1{,}5)-C(1{,}5)=18-9=9 (TL).
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kâr fonksiyonu
- Tanım: Gelir eksi maliyet.
- Bu problemde: P(x)=12x-4x^{2} olarak kuruldu.
- Tepe noktası (vertex)
- Tanım: Kvadratik bir fonksiyonun maksimum veya minimum değeri.
- Bu problemde: Maksimum kâr için tepe noktası kullanıldı; x=1{,}5 cm.
SIK YAPILAN HATALAR:
Birim karışıklığı
- Yanlış: Geliri alan üzerinden hesaplamak veya maliyeti kenar üzerinden hesaplamak.
- Doğru: Gelir kenar başına, maliyet alan başına hesaplanır.
- Neden yanlış: Birimler uyumsuz olursa fonksiyon hatalı kurulur.
- Düzeltme: Gelir ve maliyeti verilen birimlerle doğru değişkene bağlayın (kenar = cm, alan = cm²).
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP: En yüksek kâr 9 TL’dir ve bu kârı sağlayan kenar uzunluğu 1,5 cm’dir.