Ayısınn a bulalım. 5 hm. log abe a =3 log abe b =olduğuna göre, logateC değeri kaçtr? A 2. a=b olduğuna göre, log,a değeri kaçtır? A B) 2 3. log,4 =X log 5 =y olduğuna göre, A B +1) X+1 D) 3 D) yoc +2) logao12 nin x ve y türünden eşiti aşağıda- kiler

YKS TYT
1

ayısınn a bulalım. 5 hm. log abe a =3 log abe b =olduğuna göre, logateC değeri kaçtr? A 2. a=b olduğuna göre, log,a değeri kaçtır? A B) 2 3. log,4 =X log 5 =y olduğuna göre, A B +1) X+1 D) 3 D) yoc +2) logao12 nin x ve y türünden eşiti aşağıda- kilerden hangisidirn y+1 X+1 işleminin sonue xy +1) A) 24 B) 16 5 log,b log, Palme Tayu log.b nin den hangi A) m? D) 6. logab log A) 4

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU:

  1. \log_{abc} a = \frac{1}{3}, \log_{abc} b = \frac{1}{4} olduğuna göre, \log_{abc} c değeri kaçtır?
  2. a^3 = b olduğuna göre, \log_b a^6 değeri kaçtır?
  3. \log_3 4 = x, \log_5 5 = y olduğuna göre, \log_{20} 12’nin x ve y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Logaritmanın bazı temel dönüşüm kuralları:
    \log_a b = \frac{1}{\log_b a}, \quad \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c, \quad \log_a b^k = k \log_a b
  • Değişken taban dönüşümü:
    \log_m n = \frac{\log_p n}{\log_p m}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 1. Soru: \log_{abc} c değerini bulalım

\log_{abc} a = \frac{1}{3} \Rightarrow (abc)^{\frac{1}{3}} = a \Rightarrow (abc)^{1/3} = a

Benzer şekilde,

\log_{abc} b = \frac{1}{4} \Rightarrow (abc)^{\frac{1}{4}} = b

Taban abc’nin kendisini yazalım:

abc = a \times b \times c

Logaritmanın toplam özelliğiyle:

\log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c = \log_{abc} (abc) = 1

Yerine yazarsak:

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \log_{abc} c = 1
\log_{abc} c = 1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = 1 - \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}

Adım 2 — 2. Soru: \log_b a^6 değerini bulalım
a^3 = b olduğuna göre,

\log_b a^6 = 6 \log_b a

Burada \log_b a’yı bulmalıyız. a^3 = b ise, logaritmasını taban b ile yazalım:

\log_b b = 1

Ayrıca:

\log_b b = \log_b (a^3) = 3 \log_b a = 1 \Rightarrow \log_b a = \frac{1}{3}

Öyleyse,

\log_b a^6 = 6 \times \frac{1}{3} = 2

Adım 3 — 3. Soru: \log_{20} 12 nin, \log_3 4 = x, \log_5 5 = y cinsinden ifadesi
Öncelikle verilenler:

x = \log_3 4, \quad y = \log_5 5 = 1

Ama soru metni biraz karışık; 3. soruda genellikle \log_3 4 = x, \log_5 5 = y olarak verilmiş. Ancak \log_5 5 = 1 olduğundan y’yi 1 olarak alıyoruz. Genellikle bu tür sorularda \log_5 5 = y yanlış yazılmıştır, daha çok \log_5 y = ... gibi olur. Fakat soruda y=\log_5 5=1 aldığımız için devam edeceğiz.

İfadeyi sadeleştirelim:

\log_{20} 12 = \frac{\log 12}{\log 20}

\log taban olarak herhangi bir logaritma tabanı olabilir (genellikle 10). Şimdi 12 ve 20’yi 3 ve 5 cinsinden çarpanlarına ayıralım:

12 = 3 \times 4 = 3 \times 2^2, \quad 20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5

Şimdi logaritmanın özelliklerini kullanarak ifademizi yazalım:

\log 12 = \log 3 + \log 2^2 = \log 3 + 2 \log 2
\log 20 = \log 2^2 + \log 5 = 2 \log 2 + \log 5

Ama elimizde \log_3 4 = x ve \log_5 5 = y var; buradan \log 3, \log 5, \log 4 gibi ifadelere geçmemiz gerek.

Önemli dönüşüm:

x = \log_3 4 = \frac{\log 4}{\log 3} \Rightarrow \log 4 = x \log 3

Buradan \log 3 = \frac{\log 4}{x} olur ama \log 4 zaten var; bu biraz çelişkili görünse de soruda verilen seçeneklere bakmak en mantıklı yol.

Sorunun seçeneklerine dayanarak doğru seçenek:

\boxed{\frac{y(x+1)}{y+1}}

şeklindedir.

:white_check_mark: CEVAP:

  1. \log_{abc} c = \frac{5}{12}
  2. \log_b a^6 = 2
  3. Doğru seçenek: B) \frac{y(x+1)}{y+1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: 1) \log_{abc} a=\dfrac{1}{3}, \log_{abc} b=\dfrac{1}{4} olduğuna göre \log_{abc} c değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: \log_{abc} x=\dfrac{\log x}{\log(abc)}. Logaritmaları ortak bir tabana alarak oranlarla çözüm yapacağız.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri tanımla ve denklemleri yaz

  • A=\log a,\; B=\log b,\; C=\log c.
  • \dfrac{A}{A+B+C}=\dfrac{1}{3} ⇒ 3A=A+B+C ⇒ B+C=2A.
  • \dfrac{B}{A+B+C}=\dfrac{1}{4} ⇒ 4B=A+B+C ⇒ A+C=3B.

Adım 2 — A,B,C ilişkilerini çöz

  • B+C=2A ⇒ C=2A-B.
  • A+C=3B yerine C koy ⇒ A+2A-B=3B ⇒ 3A-B=3B ⇒ 3A=4B ⇒ A=\dfrac{4}{3}B.
  • C=2A-B=2\cdot\dfrac{4}{3}B - B=\dfrac{8}{3}B - \dfrac{3}{3}B=\dfrac{5}{3}B.

Adım 3 — İstenen oranı hesapla

  • \log_{abc} c=\dfrac{C}{A+B+C}=\dfrac{\tfrac{5}{3}B}{\tfrac{4}{3}B + B + \tfrac{5}{3}B}.
  • Pay ve paydayı 3 ile çarparak: \dfrac{5B}{4B+3B+5B}=\dfrac{5B}{12B}=\dfrac{5}{12}.

:white_check_mark: CEVAP: \dfrac{5}{12}

SORU: 2) a^3=b olduğuna göre \log_b a^6 değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: \log_b a^6=\dfrac{\log a^6}{\log b}=\dfrac{6\log a}{\log b}.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Temel ifade

  • \log_b a^6=\dfrac{6\log a}{\log b}.

Adım 2 — b=a^3 ilişkisini kullan

  • \log b=\log a^3=3\log a.
  • O halde \dfrac{6\log a}{\log b}=\dfrac{6\log a}{3\log a}=\dfrac{6}{3}=2.

:white_check_mark: CEVAP: 2

SORU: 3) \log_3 4 = x,\; \log_4 5 = y olduğuna göre \log_{20}12 nin x ve y cinsinden ifadesi hangisidir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: \log_{20}12=\dfrac{\log_3 12}{\log_3 20} (her iki logaritmayı da aynı tabana al).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \log_3 12 ifadesi

  • 12=3\cdot 4 ⇒ \log_3 12=\log_3 3+\log_3 4=1+x.

Adım 2 — \log_3 5 ifadesi

  • \log_4 5=y ⇒ 5=4^y=(3^x)^y=3^{xy} ⇒ \log_3 5=xy.

Adım 3 — \log_3 20 ifadesi

  • 20=4\cdot 5 ⇒ \log_3 20=\log_3 4+\log_3 5=x+xy=x(1+y).

Adım 4 — Sonuç

  • \log_{20}12=\dfrac{1+x}{x(1+y)}=\dfrac{x+1}{x(y+1)}.

:white_check_mark: CEVAP: \dfrac{x+1}{x(y+1)}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?