Ayberk, Beste ve Ceyhun birlikte online bir oyun oynamaktadırlar. Bu oyunun başında her bir oyuncuya belirli miktarda kredi verilmektedir. Bu kredi miktarı her oyuncu için aynıdır ve krediler tam sayı şeklinde tanımlanmaktadır. Oyun içinde oyuncular arası kredi transferi de yapılabilmektedir. Bu işlemin şartları aşağıdaki gibidir.
➢ 1 kredi yollanamaz.
➢ Kredinin tümü yollanamaz.
➢ Kredi eşit parçalara bölündüğünde oluşan parçalardan birisi yollanabilir.
Bu üç arkadaş belirli bir süre sonunda başta verilen kredileri sırasıyla 2, 3 ve 4 kat kadar arttırmışlar, oyun içi harcamalarda ise sırasıyla 10, 3 ve 9 kredi harcamışlardır. Bu arkadaşlar kredilerinin bir kısmını başka oyunculara satmak istemektedirler fakat hiçbir gerekli şartları sağlamadığından kredi transferi yapamamaktadır. Son durumda hiçbirinin kredi sayısı 1’e eşit olmadığına göre, bu durumda üç arkadaşın hesaplarında bulunan kredilerin toplamı kaçtır?
A) 18
Asal Sayılar ve Bölünebilme Şartları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tam sayının kendisi ve 1 dışında hiçbir pozitif tam sayı böleni yoksa bu sayıya asal sayı denir. Bir miktarın eşit parçalara bölünüp bir parçasının transfer edilebilmesi, o miktarın 1 ve kendisi haricinde bir tam sayı bölenine (çarpanına) sahip olması anlamına gelir; bu transferin yapılamaması ise kalan miktarın bir asal sayı olduğunu gösterir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Transfer Şartlarının ve Asal Sayı Durumunun Belirlenmesi
Oyunda 1 kredi ve kredinin tamamı transfer edilememektedir. Eşit parçalara bölündüğünde oluşan bir parçanın yollanabilmesi için kredinin 1 ve kendisinden farklı en az bir pozitif tam sayı böleni olmalıdır. Hiçbir oyuncu transfer yapamadığına ve son durumdaki kredi miktarları 1’e eşit olmadığına göre, her bir oyuncunun kalan kredisi birer asal sayı olmak zorundadır.
Adım 2 — Cebirsel İfadelerin Kurulması
Her oyuncunun başlangıçtaki kredi miktarı x olsun (x \in \mathbb{Z}^+):
- Ayberk: Kredisini 2 kat kadar arttırıp 10 harcamıştır:x + 2x - 10 = 3x - 10
- Beste: Kredisini 3 kat kadar arttırıp 3 harcamıştır:x + 3x - 3 = 4x - 3
- Ceyhun: Kredisini 4 kat kadar arttırıp 9 harcamıştır:x + 4x - 9 = 5x - 9
Adım 3 — Değerlerin Hesaplanması
3x - 10 > 1 olması gerektiğinden x \ge 4 olmalıdır. x tam sayı değerlerini sırasıyla test edelim:
- x = 4 için:
- Ayberk: 3(4) - 10 = 2 (Asal sayı)
- Beste: 4(4) - 3 = 13 (Asal sayı)
- Ceyhun: 5(4) - 9 = 11 (Asal sayı)
Her üç değer de asal sayı şartını ve pozitiflik koşulunu eksiksiz sağlamaktadır.
Adım 4 — Kredilerin Toplamı
Son durumda üç arkadaşın hesaplarında bulunan toplam kredi miktarı:
CEVAP: 26 (Toplam kredi miktarı: 2 + 13 + 11 = 26)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Matematik metinlerinde “2 katına çıkarmak” (2x) ile “2 kat kadar arttırmak” (x + 2x = 3x) ifadeleri arasındaki farka dikkat edilmelidir. “Kadar arttırmak” ifadesi başlangıçtaki miktarın üzerine ekleme yapıldığını belirtir.