- AoB kümeleri eş iki çember ile aşağıdaki oibi
gösterilmiştir.
AUB ve An B kümelerinin çevreleri sirasıyla 20x ve A-
birim olarak hesaplanmiştır.
Buna göre, A n B kümesinin alanı kaç birimkaredir?
B) 6 - 6V3
C) 9r- 6/3
A) 6r - 9/3
D) 12r - 12/3
E) 12r - 18/3
A \cap B Kesişim Kümesinin Alanının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Çemberin çevre formülü: \text{Çevre} = 2\pi R
- Yay uzunluğu formülü: s = 2\pi R \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
- Daire diliminin alanı: A_{\text{dilim}} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
- Üçgenin alanı: A_{\text{üçgen}} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)
- Daire kesmesinin (parçasının) alanı: A_{\text{parça}} = A_{\text{dilim}} - A_{\text{üçgen}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eş Çemberlerin Yarıçapını (R) Bulma
- A ve B eş iki çember olduğundan yarıçapları birbirine eşittir ve R olsun.
- Kesişim bölgesinin (A \cap B) çevresi iki eş yaydan oluşur. Bu çevre 4\pi olarak verilmiştir:\text{Bir yayın uzunluğu} = s = \frac{4\pi}{2} = 2\pi
- Birleşim bölgesinin (A \cup B) çevresi, iki çemberin dışta kalan yaylarının toplamıdır:\text{Çevre}(A \cup B) = 2 \cdot (2\pi R - 2\pi) = 4\pi R - 4\pi
- Bu değer 20\pi olarak verildiğinden denklem kurulur:4\pi R - 4\pi = 20\pi4\pi R = 24\pi \implies R = 6\text{ birim}
Adım 2 — Yayı Gören Merkez Açıyı (\alpha) Bulma
- R = 6 birim ve yay uzunluğu s = 2\pi birim olduğuna göre:s = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi12\pi \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{1}{6} \implies \alpha = 60^\circ
Adım 3 — Bir Daire Parçasının Alanını Hesaplama
- 60^\circ’lik daire diliminin alanı:A_{\text{dilim}} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi
- Bu dilim içerisindeki eşkenar üçgenin alanı:A_{\text{üçgen}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}
- Bir yayın sınırladığı daire parçasının alanı:A_{\text{parça}} = A_{\text{dilim}} - A_{\text{üçgen}} = 6\pi - 9\sqrt{3}
Adım 4 — A \cap B Kesişim Bölgesinin Toplam Alanını Bulma
- A \cap B kümesi, birbirine simetrik iki adet daire parçasından oluşmaktadır:A(A \cap B) = 2 \cdot A_{\text{parça}} = 2 \cdot (6\pi - 9\sqrt{3}) = 12\pi - 18\sqrt{3}\text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (12\pi - 18\sqrt{3})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Daire Parçası (Segment) Alanı
- Tanım: Bir kiriş ile yayın arasında kalan kapalı bölgenin alanıdır.
- Bu problemde: Kesişim bölgesi, çemberlerin merkezlerinden çizilen yarıçaplarla ayrılan iki simetrik daire parçasının birleşimidir.
2. Kümelerin Çevresi ile Yay Uzunluğu İlişkisi
- Tanım: İki kapalı eğrinin birleşim veya kesişim çevresi, sınırları oluşturan yay uzunluklarının toplamına eşittir.
- Bu problemde: A \cup B çevresinden çemberin tam çevresi (2\pi R) ve yay uzunluğu ilişkisi kurularak yarıçap R=6 olarak elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tek Parça Alanını İşaretlemek
- Yanlış: Sonucu 6\pi - 9\sqrt{3} (A şıkkı) olarak bulup bırakmak.
- Doğru: Kesişim bölgesinin iki eş parçadan oluştuğunu dikkate alarak alanı 2 ile çarpmak (12\pi - 18\sqrt{3}).
- Hatanın Nedeni: Kesişimin her iki çemberin de parçasını içerdiği simetri durumunu gözden kaçırmak.
Benzer tipte bir çemberde alan ve çevre sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?