Yukarıdaki veri grubunun açıklığı 28 ise A yerine aşağıdakilerden hangisi yazılamaz?
Cevap: Bu soruda, veri grubunda yer alan sayıların maksimum değeri ile minimum değeri arasındaki fark (açıklık) 28 olarak verilmiştir. Veri setine eklenebilecek olası “A” değerleri arasından hangisinin, açıklığın hâlâ 28 kalmasını sağlamadığı araştırılır. Kısa bir bakışla, bu değerler incelendiğinde 66 yazıldığında açıklığın 28 olmadığı anlaşılır. Aşağıda bunun nedenini adım adım ve detaylı bir biçimde inceleyelim.
1. Açıklık (Veri Aralığı) Nedir?
İstatistikte açıklık (veya aralık), bir veri grubundaki en büyük (maksimum) değer ile en küçük (minimum) değer arasındaki farkı ifade eder. Matematiksel ifadesiyle:
Bu soru özelinde açıklığın 28 olduğu söylenmiştir; dolayısıyla veri seti ne olursa olsun, en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki fark 28 olmalıdır.
2. Verileri İnceleme
Veri grubunun elemanları şu şekilde verilmiştir:
- 40
- 65
- 53
- 37
- 48
- A (bilinmeyen)
Bu sayıların içinde 65 en büyük değer, 37 ise en küçük değer gibi görünmektedir. Soruda da veri grubundaki açıklığın yani (maksimum - minimum) = 28 olduğu açıklanmıştır. Mevcut verilerden:
- Mevcut minimum: 37
- Mevcut maximum: 65
- Mevcut açıklık: 65 - 37 = 28
Görüldüğü üzere, henüz A’nın hangi değer olduğu bilinmeden bile, 37 ve 65 arasındaki fark 28 çıkar. Bu bilgi bize, A’nın eklenmesinin veri grubunun açıklığını 28’den farklı kılmaması gerektiğini anlatır. Yani A eklenince grubun minimum veya maksimum değeri değişirse, açıklık 28 olmaktan çıkmamalıdır.
3. A’nın Farklı Değerlerde Etkisi
Aşağıdaki seçenekler verilmektedir:
- A = 66
- A = 54
- A = 41
- A = 37
Bu değerler için tek tek açıklık hesaplaması yapacağız. Veri topluluğu (40, 65, 53, 37, 48, A) şeklinde sabit kaldığı sürece, sadece A’nın değişimi minimumu veya maksimumu nasıl etkiliyorsa buna bakacağız.
3.1. A = 66
- Veri seti: 37, 40, 48, 53, 65, 66
- Bu durumda minimum = 37 (değişmedi), maksimum = 66 olur.
- Açıklık = 66 - 37 = 29
- Gözlendiği gibi açıklık 28’den 29a yükselmiştir. Dolayısıyla A = 66 yazıldığında açıklık artık 28 olmaz. Soruda aranan “yazılamaz” değerin 66 olduğu buradan anlaşılabilir.
3.2. A = 54
- Veri seti: 37, 40, 48, 53, 54, 65
- Minimum = 37, maksimum = 65
- Açıklık = 65 - 37 = 28
- Değer 54, mevcut minimum ve maksimum aralığı aşmadığı için açıklık 28 olarak kalır.
3.3. A = 41
- Veri seti: 37, 40, 41, 48, 53, 65
- Minimum = 37, maksimum = 65
- Açıklık = 65 - 37 = 28
- Aynı şekilde, 41 değeri veri aralığını bozmaz; açıklık 28 olarak sabit kalır.
3.4. A = 37
- Veri seti: 37, 37, 40, 48, 53, 65
- Minimum = 37, maksimum = 65
- Açıklık = 65 - 37 = 28
- Bir veri setinde aynı sayının birden fazla kez bulunması açıklığı değiştirmez. Dolayısıyla 37 değeri eklendiğinde de açıklık yine 28’dir.
4. Örnek Soru Yapısını Detaylı Anlama
Sınavlarda veya test sorularında “bir veri grubu verilmiş, açıklığı 28 ise A aşağıdakilerden hangisi olabilir/hangisi olamaz?” şeklindeki sorular, öğrencinin şu noktalarda bilgi sahibi olmasını ölçer:
- Açıklık (aralık) kavramı: Maksimum ve minimum arasındaki farkın nasıl hesaplandığını bilmek.
- Minimum ve maksimumu belirleme: Farklı bir sayı eklendiğinde veri setindeki minimum veya maksimum değerlerin değişip değişmediğini hızlıca kavramak.
- Sayı dizisinin sıralanması: Verileri sırayla dizip gözlem yapmak, hangi sayıların minimum veya maksimum konumunu değiştirebileceğini kestirmek.
- Analiz yapma yeteneği: En pratik yol bazen “sonuçta açıklık 28 olacaksa her modelde max-min = 28” denklemine uyan sayıları bulmaktır.
Bu tür adım adım analiz, “verileri artan sırada dizmek, açıklığı hesaplamak ve eklenebilecek sayının açıklığı bozup bozmadığını görmek” şeklinde uygulanır. Burada da net şekilde gördüğümüz gibi, 66 eklendiğinde açıklık artacağı için (29’a yükseleceği için) istenen 28 değerini korumamaktadır.
5. Sonuç ve Tablolu Özet
Aşağıdaki tabloda, her bir olasılık için ortaya çıkan minimum, maksimum ve açıklık değerleri gösterilmiştir:
| Olası A Değeri | Oluşan Veri Seti | Minimum | Maksimum | Açıklık |
|---|---|---|---|---|
| 66 | 37, 40, 48, 53, 65, 66 | 37 | 66 | 66 - 37 = 29 |
| 54 | 37, 40, 48, 53, 54, 65 | 37 | 65 | 65 - 37 = 28 |
| 41 | 37, 40, 41, 48, 53, 65 | 37 | 65 | 65 - 37 = 28 |
| 37 | 37, 37, 40, 48, 53, 65 | 37 | 65 | 65 - 37 = 28 |
Tablodan da anlaşılacağı gibi 66 haricindeki tüm değerlerde açıklık 28 olarak kalmaktadır. Soru bize “hangisi yazılamaz” diye sorduğundan, aralığı bozan değer olan 66 için açıklık 28 olmayacaktır.
6. Sorunun Yanıtı
Bu analiz sonucunda, açıklığın 28 olması şartını 66 değeri bozduğu için bu soru kapsamında yazılamayacak değer 66 olur.
Cevap (Kısa Özet):
Veri grubu 40, 65, 53, 37, 48 ve A’dan oluşur. Mevcut en küçük değer 37, en büyük değer 65 olduğu için açıklık 28’dir. Eğer A = 66 olursa yeni açıklık 29 olduğu için istenen 28’e uymaz. Seçeneklerden yalnızca 66 bu niteliği bozduğu için doğru cevaptır.