T|
5. 720 sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi
çifttir?
ASAL SAYI UYGULAMALARI
A) 18 B) 24
C) 30
D) 36
E) 48
720 sayısının pozitif çift bölenlerinin sayısı
KULLANILAN FORMÜL: Bir sayının çift bölenlerinin sayısını bulmak için, sayının asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, 2’nin kuvvetinden 1 çıkarılır ve diğer asal çarpanların kuvvetleri 1 artırılarak çarpılır.
N = 2^a \cdot p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \dots ise, Çift Bölen Sayısı = (a-1) \cdot (b_1+1) \cdot (b_2+1) \cdot \dots
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 720 sayısını asal çarpanlarına ayırma
720 = 72 \times 10
72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2
10 = 2 \times 5
720 = 2^3 \times 3^2 \times 2 \times 5
720 = 2^{(3+1)} \times 3^2 \times 5^1
720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1
Adım 2 — Çift bölen sayısını hesaplama
Bir bölenin çift olması için 2’nin en az 1 adet çarpan olarak bulunması gerekir. Bu nedenle, 2’nin kuvvetini a yerine a-1 olarak alırız ve 2’nin kuvvetinin 0 olmasını engelleriz.
Formülümüz: Çift Bölen Sayısı = (a-1) \cdot (b_1+1) \cdot (b_2+1)
a = 4 (2’nin kuvveti)
b_1 = 2 (3’ün kuvveti)
b_2 = 1 (5’in kuvveti)
Çift Bölen Sayısı = (4-1) \times (2+1) \times (1+1)
Çift Bölen Sayısı = 3 \times 3 \times 2
Çift Bölen Sayısı = 18
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 18
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazma işlemidir.
- Bu problemde: 720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1 şeklinde asal çarpanlarına ayırdık.
2. Pozitif Bölen Sayısı (PBS)
- Tanım: Bir sayının tüm pozitif bölenlerinin sayısı, asal çarpanlara ayrılmış halindeki her bir asal sayının kuvvetine 1 eklenip bu yeni kuvvetlerin çarpılmasıyla bulunur.
- Bu problemde: Eğer tüm pozitif bölenleri bulmak isteseydik (4+1)(2+1)(1+1) = 5 \times 3 \times 2 = 30 olurdu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çift bölen formülünü yanlış uygulama
- Yanlış: 2’nin kuvvetini de diğerleri gibi 1 artırıp çarpmak. Yani (4+1) \times (2+1) \times (1+1) = 5 \times 3 \times 2 = 30 yapmak. Bu, tüm pozitif bölenlerin sayısıdır.
- Doğru: Çift bölenleri bulurken 2’nin kuvvetinden 1 çıkarılır çünkü bir bölenin çift olması için içerisinde en az bir 2 çarpanı bulunması gerekir. 2^0 çarpanı içeren bölenler tek sayıdır.
- Neden yanlış: Bu yöntem tek bölenleri de sayar ve sadece çift olanları seçme amacına aykırıdır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir uygulama problemi çözmemi ister misin?