nin
asi
-inin
Asağidaki yapi, bir ayrit uzunluğu 2’nin negatif tam
saVi kuvvetini gösterecek şekilde büyükten küçüğe
doğu üst üste dizilmiş 4 adet küpten oluşmuştur.
A)
31
32
Üstten ikinci küpün bir ayrtı 2 santimetre
olduğuna göre, yapının santimetre cinsinden
yüksekliği en fazla kaçtır?
B
15
16
C)
2-3 cm
Üst
29
NEGATIF
Alto
D)
wdL9G
Kuwer
5. Ölçek
bu nc
Aşağ
mesa
ardış
Tra
ol
ha
Üslü İfadelerle Küplerin Toplam Yüksekliğini Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Negatif tam sayı kuvveti: a^{-n} = \frac{1}{a^n}
- Negatif tam sayılar kümesi: \mathbb{Z}^- = \{-1, -2, -3, -4, \dots\}
- Tabanı 1’den büyük olan üslü sayılarda üs büyüdükçe sayının değeri büyür:k_1 > k_2 \iff 2^{k_1} > 2^{k_2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Küplerin Ayrıt Uzunluklarının Belirlenmesi
Yapı, büyükten küçüğe doğru (alttan üste) sıralanmış 4 adet küpten oluşmaktadır. Dolayısıyla aşağıdan yukarıya doğru küplerin ayrıt uzunlukları azalmalıdır.
- Üstten 2. küpün (sarı küp) ayrıt uzunluğu: 2^{-3}\text{ cm}
- Bir küpün ayrıt uzunluğu 2’nin negatif bir tam sayı kuvveti (2^n, n \in \mathbb{Z}^-) olmak zorundadır.
Aşağıdan yukarıya küplerin kuvvetlerini sıralayalım:
n_{\text{en alt}} > n_{\text{yeşil}} > -3 > n_{\text{en üst}}
Adım 2 — Kuvvetlerin En Büyük Değerlerinin Seçilmesi
Yapının toplam yüksekliğinin en fazla olması için her bir küpün ayrıt uzunluğunun alabileceği en büyük değerleri seçmeliyiz:
- -3’ten büyük olan negatif tam sayılar yalnızca -1 ve -2’dir.
- En alttaki (kırmızı) küpün ayrıtı: 2^{-1}\text{ cm}
- Alttan 2. (yeşil) küpün ayrıtı: 2^{-2}\text{ cm}
- Üstten 2. (sarı) küpün ayrıtı: 2^{-3}\text{ cm} (soruda verilmiştir)
- En üstteki (mavi) küpün ayrıtı -3’ten küçük olmalıdır. Yüksekliğin en fazla olması için -3’ten küçük en büyük negatif tam sayı seçilir:
- En üstteki (mavi) küpün ayrıtı: 2^{-4}\text{ cm}
Adım 3 — Toplam Yüksekliğin Hesaplanması
Dört küp üst üste konulduğunda toplam yükseklik, ayrıt uzunluklarının toplamına eşittir:
h = 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4}
h = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}
Paydalar 16’da eşitlenir:
h = \frac{1 \cdot 8}{16} + \frac{1 \cdot 4}{16} + \frac{1 \cdot 2}{16} + \frac{1 \cdot 1}{16}
h = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{16} = \frac{15}{16}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — \frac{15}{16}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Negatif Üs: Bir sayının üssünün negatif olması, o sayının çarpma işlemine göre tersinin alındığını gösterir (2^{-n} = \frac{1}{2^n}). Negatif tam sayılarda sıfıra yaklaştıkça değer büyür (-1 > -2 > -3).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sıfırı (0) negatif tam sayı kabul edip en alttaki küpü 2^0 = 1 olarak almak.- Doğru Yaklaşım: 0 işaretsiz (nötr) bir tam sayıdır, negatif tam sayılar kümesine ait değildir. Bu nedenle seçilebilecek en büyük kuvvet -1’dir.
Bu soru tipinde küp sayısı değiştiğinde pratik olarak toplamı nasıl hesaplayabileceğimizi de incelemek ister misin?