Aşağıdaki tabloda bir okulda görev yapan matematik öğretmenlerinin sayısı ve bu öğretmenlerin yaşları verilmiştir. Bu öğretmenler arasından yarıyıl tatilinde Milli Eğitim Bakanlığı’nın vereceği seminere katılmak için 3 kişilik bir grup oluşturulacaktır.
Yaş
Öğretmen
Sayısı
Seminere katılacak 3 kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması bir tam sayı olduğuna göre kaç farklı grup oluşturulabilir?
A) 180
B) 200
C) 210
D) 220
E) 240
Yaş Ortalaması Tam Sayı Olan 3 Kişilik Öğretmen Grubunun Seçimi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Aritmetik Ortalama: Seçilen 3 kişinin yaşları toplamının 3’e tam bölünmesi gerekir:\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \in \mathbb{Z} \implies x_1 + x_2 + x_3 \equiv 0 \pmod 3
- Kombinasyon Formülü: n elemanlı bir kümeden r eleman seçimi:C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Öğretmenlerin Yaşlarının 3 ile Bölümünden Kalanları Belirleme
Tablodaki yaş ve öğretmen sayıları:
- 26 yaşında: 5 öğretmen \rightarrow 26 = 3 \times 8 + 2 \implies Kalan 2
- 41 yaşında: 6 öğretmen \rightarrow 41 = 3 \times 13 + 2 \implies Kalan 2
- 42 yaşında: 7 öğretmen \rightarrow 42 = 3 \times 14 + 0 \implies Kalan 0
Öğretmenleri kalanlarına göre gruplandıralım:
- Kalanı 0 olanlar (42 yaş): Toplam 7 öğretmen
- Kalanı 2 olanlar (26 ve 41 yaş): 5 + 6 = 11 öğretmen
Adım 2 — Toplamın 3’ün Katı Olmasını Sağlayan Durumları İnceleme
Seçilen 3 kişinin kalanları toplamının 3’ün katı (0 \pmod 3) olması için iki olası durum vardır:
-
Durum 1: Seçilen 3 kişinin de kalanının 0 olması (0 + 0 + 0 = 0)
Kalanı 0 olan 7 öğretmen arasından 3 kişi seçilir:\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 -
Durum 2: Seçilen 3 kişinin de kalanının 2 olması (2 + 2 + 2 = 6 \equiv 0 \pmod 3)
Kalanı 2 olan 11 öğretmen arasından 3 kişi seçilir:\binom{11}{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165
(Not: Kalanı 1 olan öğretmen bulunmadığı için başka bir durum oluşturulamaz.)
Adım 3 — Toplam Farklı Grup Sayısını Hesaplama
Her iki durumdan elde edilen seçim sayıları toplanır:
\text{Toplam Grup Sayısı} = 35 + 165 = 200
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 200
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Modüler Aritmetik ile Gruplandırma
- Tanım: Bir toplamın belirli bir sayıya tam bölünebilmesi için sayıların kalanları üzerinden durum analizi yapılması yöntemidir.
- Bu problemde: Yaşların kendileri yerine 3’e bölümünden kalanlar incelenerek (0 ve 2) tüm olası üçlü seçimler doğrudan sınıflandırılmıştır.
2. Kombinasyon (Seçme)
- Tanım: Sıralama gözetmeksizin bir kümeden belirli sayıda eleman seçilmesidir.
- Bu problemde: Aynı kalan grubundaki öğretmenler arasından 3’er kişilik seçimler \binom{n}{3} şeklinde hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yaşları Farklı Olanları Ayrı Ayrı Çarpmaya Çalışmak
- Yanlış: 26 ve 41 yaşındaki öğretmenleri aynı kalan grubunda birleştirmeyip her bir yaş kombinasyonunu tek tek hesaplamaya çalışırken durumları eksik veya fazla saymak.
- Doğru: Her iki yaş grubunun da 3’e bölümünden kalanı 2 olduğu için bu öğretmenler tek bir 11 kişilik küme olarak kabul edilir ve \binom{11}{3} şeklinde hesaplanır.
- Neden yanlış: Aritmetik ortalamanın tam sayı olması yalnızca kalanlar toplamına bağlıdır; kalanları aynı olan yaşların kendi aralarındaki dağılımı toplamın 3’e bölünebilirliğini değiştirmez.
Benzer tipte kombinasyon ve bölünebilme kurallarını birleştiren yeni bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?