Kırmızı, Yeşil ve Mavi Topların Kütle Probleminde Mavi Top Sayısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE BAĞINTILAR:
- Toplam Top Sayısı: k + y + m = \text{Toplam Adet}
- Toplam Kütle: (15 \cdot k) + (22 \cdot y) + (18 \cdot m) = \text{Toplam Kütle}
(Burada k, y ve m sırasıyla kırmızı, yeşil ve mavi top sayılarını temsil eden doğal sayılardır.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Denklem Sistemini Kurma
- Kırmızı top sayısı: k (Her biri 15\text{ g})
- Yeşil top sayısı: y (Her biri 22\text{ g})
- Mavi top sayısı: m (Her biri 18\text{ g})
Soruda verilenlere göre iki temel denklem yazılır:
- k + y + m = 30
- 15k + 22y + 18m = 473
Adım 2 — Birinci Denklemi İkinci Denklemde Yerine Koyarak Sadeleştirme
İlk denklemden k çekilirse:
k = 30 - y - m
Bu ifade toplam kütle denkleminde k yerine yazılır:
15(30 - y - m) + 22y + 18m = 473
450 - 15y - 15m + 22y + 18m = 473
450 + 7y + 3m = 473
Her iki taraftan 450 çıkarılır:
7y + 3m = 23
Adım 3 — Tam Sayı Çözümlerini (Diophant Denklemi) Bulma
y ve m birer sayma sayısı (top adedi) olmak zorundadır (y, m \ge 0 ve tam sayı):
- y = 0 için \rightarrow 7(0) + 3m = 23 \implies 3m = 23 (m tam sayı çıkmaz)
- y = 1 için \rightarrow 7(1) + 3m = 23 \implies 3m = 16 (m tam sayı çıkmaz)
- y = 2 için \rightarrow 7(2) + 3m = 23 \implies 14 + 3m = 23 \implies 3m = 9 \implies m = 3
- y = 3 için \rightarrow 7(3) + 3m = 23 \implies 21 + 3m = 23 \implies 3m = 2 (m tam sayı çıkmaz)
- y \ge 4 için \rightarrow 7y \ge 28 > 23 olacağından başka pozitif çözüm yoktur.
Buradan:
- Yeşil top sayısı: y = 2
- Mavi top sayısı: m = 3 bulunur.
Adım 4 — Kırmızı Top Sayısını Bulma ve Sonucu Doğrulama
k = 30 - y - m = 30 - 2 - 3 = 25
Kütleleri kontrol edelim:
25 \times 15\text{ g} = 375\text{ g}
2 \times 22\text{ g} = 44\text{ g}
3 \times 18\text{ g} = 54\text{ g}
\text{Toplam Kütle} = 375 + 44 + 54 = 473\text{ g}
Sonuç tüm koşulları eksiksiz sağlamaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İki Bilinmeyenli Doğrusal Diophant Denklemleri
- Tanım: Değişkenlerin yalnızca tam sayı değerler alabildiği cebirsel denklemlerdir.
- Bu problemde: 7y + 3m = 23 eşitliğinde nesne sayıları negatif veya kesirli olamayacağı için uygun tek (y, m) tam sayı ikilisi (2, 3) olarak bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katsayıları Yok Etmeye Çalışırken Hatalı İşlem Yapmak
- Yanlış: Üç bilinmeyen ve iki denklem varken doğrudan çözümsüz olduğunu düşünmek veya rastgele değerler deneyerek vakit kaybetmek.
- Doğru: Bir değişkeni diğerleri cinsinden yazıp denklemi iki bilinmeyene indirgeyerek tam sayı kısıtlamasını kullanmak.
- Neden yanlış: Sayma sayısı kısıtlaması olan problemlerde denklem sayısı bilinmeyen sayısından az olsa dahi tek bir geçerli tam sayı çözümü bulunabilir.
Bu çözüm adımlarında aklına takılan bir kısım oldu mu, yoksa benzer bir birinci dereceden denklem problemiyle pekiştirmek ister misin?
