Aşağıdaki şemada

YKS TYT
1

Aşağıdaki şemada
A kümesi, rakamları toplamı 11 olan doğal sayıları,
C kümesi ise üç basamaklı doğal sayıları
ifade etmektedir.
A, B ve C kümelerini temsil eden şemada boyalı bölgelerdeki sayılar xy4 üç basamaklı ve yxy5 dört basamaklı doğal sayılardır. Buna göre x dot y çarpımı kaçtır?
A) 15
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12

Aşağıdaki şemada A kümesi, rakamları toplamı 11 olan doğal sayıları, B kümesi, 11 ile...
Aşağıdaki şemada A kümesi, rakamları toplamı 11 olan doğal sayıları, B kümesi, 11 ile...829×800 62.6 KB

2

Kümeler ve Bölünebilme Kuralları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • 11 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının birler basamağından başlanarak sola doğru sırasıyla +,-,+,-,\dots işaretleri verilir. Bu işaretlerle çarpılan rakamların toplamı 11’in tam katı (11k, \; k \in \mathbb{Z}) ise sayı 11 ile tam bölünür.
  • Kümelerde Bölge Analizi: Bir eleman boyalı bölgede yer alıyorsa, sınırları içinde bulunduğu kümelerin elemanıdır; dışında kaldığı kümelerin ise elemanı değildir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kümelerin Özelliklerini ve Şemadaki Boyalı Bölgeleri Belirleme
Verilen kümeler:

  • A: Rakamları toplamı 11 olan doğal sayılar
  • B: 11 ile tam bölünebilen doğal sayılar
  • C: Üç basamaklı doğal sayılar

Şemadaki iki boyalı bölgeyi inceleyelim:

  1. Sol/Orta Boyalı Bölge: A ve C kümelerinin kesişiminde yer alıp B kümesinin dışında kalan bölgedir. Yani bu bölgedeki sayı:

    • 3 basamaklı olmalı (C kümesi),
    • Rakamları toplamı 11 olmalı (A kümesi),
    • 11 ile tam bölünmemelidir (B kümesinde değil).

    Bu şartlara uyan sayı 3 basamaklı olan xy4 sayısıdır.

  2. Sağ Boyalı Bölge: Yalnızca B kümesinin içinde olup A ve C kümelerinin dışında kalan bölgedir. Yani bu bölgedeki sayı:

    • 11 ile tam bölünmeli (B kümesi),
    • Rakamları toplamı 11 olmamalı (A kümesinde değil),
    • 3 basamaklı olmamalıdır (C kümesinde değil).

    Bu şartlara uyan sayı 4 basamaklı olan yxy5 sayısıdır.

Adım 2 — xy4 Sayısı İçin Eşitlik Kurma
xy4 sayısı A kümesinde olduğundan rakamları toplamı 11’dir:

x + y + 4 = 11 \implies x + y = 7

xy4 ve yxy5 doğal sayılarının basamak şartlarından dolayı x \neq 0 ve y \neq 0’dır. Dolayısıyla (x, y) ikilisi toplamı 7 olan sıfırdan farklı rakamlardır:

(x, y) \in \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}

Adım 3 — yxy5 Sayısı İçin 11 ile Bölünebilme Kuralını Uygulama
yxy5 sayısı B kümesinde olduğundan 11 ile tam bölünür:

\overset{-}{y}\;\overset{+}{x}\;\overset{-}{y}\;\overset{+}{5} \implies (+5) + (-y) + (+x) + (-y) = 5 + x - 2y = 11k \quad (k \in \mathbb{Z})

Adım 2’de elde ettiğimiz x = 7 - y eşitliğini bu ifadede yerine yazalım:

5 + (7 - y) - 2y = 11k
12 - 3y = 11k

y bir rakam (1 \le y \le 6) olduğuna göre 12 - 3y ifadesini 11’in katı yapacak değeri bulalım:

  • y = 1 \implies 12 - 3(1) = 9 \neq 11k
  • y = 2 \implies 12 - 3(2) = 6 \neq 11k
  • y = 3 \implies 12 - 3(3) = 3 \neq 11k
  • y = 4 \implies 12 - 3(4) = 0 = 11 \cdot 0 \implies \mathbf{y = 4} sağlar.
  • y = 5 \implies 12 - 3(5) = -3 \neq 11k
  • y = 6 \implies 12 - 3(6) = -6 \neq 11k

Buradan:

y = 4
x = 7 - y = 7 - 4 = 3

Adım 4 — Koşulların Sağlaması ve Çarpımın Hesaplanması

  • xy4 = 344 kontrolü:

    • Rakamları toplamı: 3 + 4 + 4 = 11 (A kümesinde :white_check_mark:)
    • 11 ile bölünebilme: +4 - 4 + 3 = 3 \neq 11k (B kümesinde değil :white_check_mark:)
    • 3 basamaklı (C kümesinde :white_check_mark:)

  • yxy5 = 4345 kontrolü:

    • Rakamları toplamı: 4 + 3 + 4 + 5 = 16 \neq 11 (A kümesinde değil :white_check_mark:)
    • 11 ile bölünebilme: +5 - 4 + 3 - 4 = 0 = 11 \cdot 0 (B kümesinde :white_check_mark:)
    • 4 basamaklı (C kümesinde değil :white_check_mark:)

Bizden istenen x \cdot y değeri:

x \cdot y = 3 \cdot 4 = 12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Venn Şeması Kesiti: Bir elemanın boyalı bölgeye ait olması; o bölgeyi çevreleyen kümelerin içinde yer alması ve o bölgeden dışlanan kümelerin şartlarını sağlamaması anlamına gelir.
  • 11 ile Bölünebilme: Sayı basamaklarına birler basamağından başlayarak sırayla +,-,+,- verilip toplanarak 11’in katı olup olmadığı incelenir (0 da 11’in katıdır).

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 12 - 3y = 11k eşitliğinde k’nın yalnızca pozitif tam sayılar olabileceğini düşünerek k = 0 durumunu gözden kaçırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: 0 sayısı 11’in sıfır katı (11 \cdot 0 = 0) olduğu için 11 ile tam bölünebilme kuralında toplamın 0 çıkması geçerli bir çözümdür.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?