Aşağıdaki şekilde uzunluğu $\tfrac{5}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$ cm olan tahta parçasından bir uçtan $\sqrt{54}$ cm, diğer uçtan $\sqrt{24}$ cm kesilip atıldığında kalan uzunluk kaç cm olur?

YKS TYT
1

IMG_20260122_105002
IMG_20260122_105002720×960 31.7 KB

2

Bzbbxnxmxnx.xmxn Problem Çözümü

Önemli Noktalar

  • Tahta parçasının başlangıç uzunluğu: \frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} cm
  • Uçlardan çıkarılan parçalar: \sqrt{54} cm ve \sqrt{24} cm
  • Rasyonel payda işlemleri ve köklerin sadeleştirilmesi gerekti

Tahta parçasının uzunluğu \frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} cm, uçlarından sırasıyla \sqrt{54} cm ve \sqrt{24} cm çıkarılıyor. Kalan uzunluğu bulmak için önce toplam uzunluğu sadeleştirin, sonra çıkarılanları çıkararak sonucu bulun.

İçindekiler

  1. Tahta Parçasının Uzunluğunu Sadeleştirme
  2. Kesilen Parçaların Uzunlukları
  3. Toplam Kalan Uzunluk Hesabı
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Tahta Parçasının Uzunluğunu Sadeleştirme

Uzunluk:

L = \frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}

Paydanın rasyonel olması için payda eşleniği ile çarparız:

L = \frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{5}}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{5})}{6 - 5} = 5(\sqrt{6} + \sqrt{5})

Yani tahta parçasının uzunluğu:

L = 5\sqrt{6} + 5\sqrt{5}

:light_bulb: Pro Tip: Payda rasyonel hale getirme işlemi genelde soruda köklü ifadelerle karşılaşıldığında ilk yapmanız gereken adımdır.

2. Kesilen Parçaların Uzunlukları

Kesilen uzunluklar:

\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}
\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}

3. Toplam Kalan Uzunluk Hesabı

Toplam uzunluktan kesilen kısmı çıkaralım:

Kalan = L - \sqrt{54} - \sqrt{24} = (5\sqrt{6} + 5\sqrt{5}) - 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6}
Kalan = 5\sqrt{6} + 5\sqrt{5} - 5\sqrt{6} = 5\sqrt{5}

Yani kalan uzunluk:

Kalan = 5\sqrt{5} \text{ cm}

Doğru seçenek: A) 5\sqrt{5}

4. Karşılaştırma Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Başlangıç Uzunluk \frac{5}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} 5\sqrt{6} + 5\sqrt{5}
Çıkarılan Kısımlar \sqrt{54}, \sqrt{24} 3\sqrt{6}, 2\sqrt{6}
Kalan Uzunluk Toplam - Kesilen 5\sqrt{5}

5. Özet Tablo

Unsur Değer
Tahta Başlangıç Uzunluğu 5\sqrt{6} + 5\sqrt{5} cm
Kesilen Uzunluklar 3\sqrt{6} cm ve 2\sqrt{6} cm
Kalan Uzunluk 5\sqrt{5} cm
Doğru Cevap A şıkkı: 5\sqrt{5}

6. Sık Sorulan Sorular

1. Paydanın rasyonel hale getirilmesi neden önemli?
Payda köklü ise işlemler karmaşıklaşır ve sonuçlar genişler, rasyonel hale getirmek işlemleri kolaylaştırır ve standart sonuçlara ulaşmayı sağlar.

2. Kesilen parçaların kök içlerindeki sayılar nasıl sadeleştirilir?
Kök içerisindeki sayı, tam kare çarpanlar şeklinde ayrılır (örneğin 54=9 \times 6) ve kök dışına tam kare kök çıkarılır.

3. Kalan uzunluk hesaplamasında hata nasıl yapılmaz?
Toplam uzunluk ve çıkarılan uzunluklar aynı birimde (burada köklerle) aynı formata getirilmelidir, sonra benzer terimler çıkarılmalıdır.

Sonraki Adımlar

Benzer köklü ifadelerle işlem içeren diğer soruları çözmek ister misiniz? Yoksa özellikle rasyonel payda yapma tekniklerini detaylandırayım mı?

@Elif_Yolcu

3

Aşağıdaki şekilde uzunluğu \tfrac{5}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} cm olan tahta parçasından bir uçtan \sqrt{54} cm, diğer uçtan \sqrt{24} cm kesilip atıldığında kalan uzunluk kaç cm olur?

• Orijinal uzunluk \displaystyle \frac{5}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{!} cm, rasyonelleştirince 5(\sqrt{6}+\sqrt{5}) cm olur.
• Kesilen parçalar: \sqrt{54}=3\sqrt{6} ve \sqrt{24}=2\sqrt{6}, toplam 5\sqrt{6} cm.
• Kalan uzunluk: 5(\sqrt{6}+\sqrt{5})-5\sqrt{6}=5\sqrt{5} cm.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Orijinal ifadeyi yazın:
    L_0=\frac{5}{\sqrt6-\sqrt5}.
  2. Payda rasyonelleştirme:
    L_0=\frac{5}{\sqrt6-\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt5}{\sqrt6+\sqrt5} =5(\sqrt6+\sqrt5).
  3. Kesilen parçaları sadeleştirme:
    \sqrt{54}=3\sqrt6,\quad \sqrt{24}=2\sqrt6,
    Toplam kesilen =3\sqrt6+2\sqrt6=5\sqrt6.
  4. Kalan uzunluk:
    L_{\text{kalan}}=5(\sqrt6+\sqrt5)-5\sqrt6=5\sqrt5.

Özet Tablo

Adım İfade Sonuç
Orijinal uzunluk \frac{5}{\sqrt6-\sqrt5} 5(\sqrt6+\sqrt5)
Top. kesilen \sqrt{54}+\sqrt{24} 5\sqrt6
Kalan uzunluk 5(\sqrt6+\sqrt5)-5\sqrt6 5\sqrt5

SSS

S1: Rasyonelleştirme nedir, neden kullanılır?
C1: Paydada kök olduğunda ifadenin “daha basit” hale gelmesi için payda köksüzleştirilir.

S2: \sqrt{54} ve \sqrt{24} nasıl sadeleştirilir?
C2: \sqrt{54}=\sqrt{9\cdot6}=3\sqrt6, \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt6.

S3: Sonuçta neden 5\sqrt5 çıkıyor?
C3: Orijinal $5\sqrt6+5\sqrt5$’ten 5\sqrt6 çıkarıldığı için geriye 5\sqrt5 kalır.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer birkaç örnek soru ister misin?
@Elif_Yolcu