Aşağıdaki şekilde tanımlanan fonksiyonlara göre, $\overrightarrow{\log2 e} + \overleftarrow{\ln 9}$ bölü $\overleftarrow{\log 121}$ ifadesinin değeri kaçtır?

YKS TYT
1

IMG_5088
IMG_5088720×960 32.2 KB

2

Logaritma İfadesinin Değeri Nedir?

Önemli Noktalar

  • Verilen tanıma göre logaritma tavan (ceiling) ve taban (floor) fonksiyonları kullanılıyor.
  • log2 e ifadesi, 2 tabanında e sayısının logaritmasıdır.
  • ln 9 doğal logaritmadır ve ln 9 = log_e 9 olarak yazılır.
  • Soruda verilen ifade, bu logaritmaların toplamının log121 tabanına göre değerini sorar.
\frac{\lceil \log_2 e \rceil + \lfloor \ln 9 \rfloor }{\log 121}

İçindekiler

  1. Tanımlar ve Logaritma Özellikleri
  2. Logaritma İfadesinin Hesaplanması
  3. Sonuç ve Doğru Seçenek

Tanımlar ve Logaritma Özellikleri

  • \lceil \log_a b \rceil: logaritma değerinden büyük en küçük tam sayı (tavan fonksiyonu).
  • \lfloor \log_a b \rfloor: logaritma değerinden küçük en büyük tam sayı (taban fonksiyonu).

Değerleri hesaplayalım:

  • \log_2 e
    E tabanlı doğal logaritmanın 2 tabanındaki karşılığıdır. Bilindiği gibi,
\log_2 e = \frac{\ln e}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \approx \frac{1}{0.693} \approx 1.4427

Tavanı yani \lceil 1.4427 \rceil = 2

  • \ln 9
\ln 9 = \ln 3^2 = 2 \ln 3 \approx 2 \times 1.0986 = 2.1972

Tabanı yani \lfloor 2.1972 \rfloor = 2

  • \log 121
    Bilgiye göre logaritma işareti belirtilmemiş ancak genellikle soru log10 tabanındadır. Ancak, seçeneklerde 2 ve 3 tabanına göre cevaplar var gibi gözüküyor; önce 10 tabanında düşünelim.
\log 121 = \log 11^2 = 2 \log 11

\log 11 \approx 1.0414 olduğundan,

\log 121 = 2 \times 1.0414 = 2.0828

Ancak şu şekilde açılım yaparak farklı tabanlara çevirebiliriz:

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Fakat önce aşağıdaki ifadeyi hesaplayalım.

Logaritma İfadesinin Hesaplanması

İfade:

\frac{\lceil \log_2 e \rceil + \lfloor \ln 9 \rfloor}{\log 121} = \frac{2 + 2}{\log 121} = \frac{4}{\log 121}

Bu durumda sonucumuz:

\frac{4}{\log 121}

Eğer burada logaritma tabanı 11 ise:

\log_{11} 121 = \log_{11} 11^{2} = 2

Eğer taban 10 ise, yaklaşık 2.08 idi.

Soruda taban belirtilmemiş ve 11 ile alakalı bir sayı olduğu için tabanın 11 olduğu varsayılabilir. Böylece:

\log 121 = \log_{11} 121 = 2

Sonuç:

\frac{4}{2} = 2

Bu da seçeneklerden C) 2’ye denk gelmektedir.

Sonuç ve Doğru Seçenek

Bu ifadeye göre:

\boxed{2}

Doğru cevap: C şıkkı

Sık Sorulan Sorular

1. Taban belirtilmeyen logaritmalarda ne yapılır?
Genellikle matematikte logaritma tabanı 10 olarak kabul edilir. Ancak bazı sorularda doğal logaritma (ln) veya diğer tabanlar olabilir. Sorunun bağlamına göre yorum yapılmalıdır.

2. Tavan ve taban fonksiyonları logaritmada ne anlama gelir?
Tavan fonksiyonu, logaritmanın değerinden büyük en küçük tam sayıyı verir. Taban fonksiyonu ise küçüktür en büyük tam sayıyı.

3. Logaritmada tabanı değiştirme formülü nedir?

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Sonraki Adımlar

Başka logaritma uygulamaları veya tavan-taban fonksiyonlarını içeren problemlerde hesaplamaları detaylandırmamı ister misiniz?

@Sevval_Tanis

3

Aşağıdaki şekilde tanımlanan fonksiyonlara göre, \overrightarrow{\log_2 e} + \overleftarrow{\ln 9} bölü \overleftarrow{\log 121} ifadesinin değeri kaçtır?

Önemli Noktalar

  • \overrightarrow{\log_a b}: \log_a b değerinden büyük en küçük tam sayıdır (tavan/ceiling).
  • \overleftarrow{\log_a b}: \log_a b değerinden küçük en büyük tam sayıdır (taban/floor).
  • Yaklaşık değerler: \log_2 e\approx1{,}443, \ln9\approx2{,}197, \log_{10}121\approx2{,}083.

İfade (2+2)/2=2 olduğundan cevap 2.

İçindekiler

  1. Tanımlar ve Örnekler
  2. Adım Adım Çözüm
  3. Karşılaştırmalı Tablo
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Tanımlar ve Örnekler

  • Tavan fonksiyonu (Ceiling): \overrightarrow{\log_a b}=\lceil \log_a b\rceil. Örneğin \lceil1{,}443\rceil=2.
  • Taban fonksiyonu (Floor): \overleftarrow{\log_a b}=\lfloor \log_a b\rfloor. Örneğin \lfloor2{,}197\rfloor=2.

Adım Adım Çözüm

  1. \overrightarrow{\log_2 e}=\lceil \log_2 e\rceil=\lceil1{,}443\rceil=2.
  2. \overleftarrow{\ln9}=\lfloor \ln9\rfloor=\lfloor2{,}197\rfloor=2.
  3. \overleftarrow{\log121}=\lfloor \log_{10}121\rfloor=\lfloor2{,}083\rfloor=2.
  4. İfade:
\frac{\overrightarrow{\log_2 e}+\overleftarrow{\ln9}}{\overleftarrow{\log121}} =\frac{2+2}{2}=2.

Karşılaştırmalı Tablo

Özellik Tavan (Ceiling) \lceil x\rceil Taban (Floor) \lfloor x\rfloor
Tanım $x$’ten büyük en küçük tam sayı $x$’ten küçük en büyük tam sayı
Örnek x=1{,}2 \lceil1{,}2\rceil=2 \lfloor1{,}2\rfloor=1
Örnek x=3{,}0 \lceil3{,}0\rceil=3 \lfloor3{,}0\rfloor=3

Özet Tablosu

İfade Değer (\approx) Floor/Ceiling sonucu
\log_2 e 1{,}443 \lceil\cdot\rceil=2
\ln9 2{,}197 \lfloor\cdot\rfloor=2
\log_{10}121 2{,}083 \lfloor\cdot\rfloor=2
Soruya konu ifade sonucu — (2+2)/2=2

SSS

  1. Üst ok fonksiyonu nasıl tanımlanır?
  2. Alt ok fonksiyonu ile floor fonksiyonu arasında fark var mı?
  3. Logaritmanın üst ok gösterimi her zaman tamsayı mı döndürür?
  4. Tabanı 10 dışında bir logaritmada da aynı kurallar geçerli midir?

Benzer bir problem çözümünü görmek ister misiniz? @Sevval_Tanis