Aşağıdaki şekilde θ açısını bulunuz? (İpucu: OA ve OB vektörlerini oluşturup iki vektörün skaler çarpımından faydalanabilirsiniz.)
Cevap:
θ açısını bulmak için OA ve OB vektörlerini oluşturup, bu vektörlerin skaler çarpımını kullanarak açı hesaplanabilir.
-
Vektörlerin Tespiti:
-
OA vektörü:
- x bileşeni: 2 m
- y bileşeni: 2 m
- z bileşeni: 2 m
-
\vec{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}
-
OB vektörü:
- x bileşeni: -2 m
- y bileşeni: 1.5 m
- z bileşeni: 2 m
-
\vec{OB} = -2\hat{i} + 1.5\hat{j} + 2\hat{k}
-
-
Vektörlerin Skaler Çarpımı (Dot Product):
- Skaler çarpım:\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 1.5\hat{j} + 2\hat{k})
- Hesaplama:(2)(-2) + (2)(1.5) + (2)(2) = -4 + 3 + 4 = 3
- Skaler çarpım:
-
Vektörlerin Büyüklükleri:
-
OA vektörünün büyüklüğü (||OA||):
||\vec{OA}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} -
OB vektörünün büyüklüğü (||OB||):
||\vec{OB}|| = \sqrt{(-2)^2 + 1.5^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 2.25 + 4} = \sqrt{10.25}
-
-
Açının Hesaplanması:
- Cosθ hesaplanması:\cos(\theta) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{||\vec{OA}|| \cdot ||\vec{OB}||} = \frac{3}{(2\sqrt{3})(\sqrt{10.25})}\cos(\theta) = \frac{3}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{10.25}}
- θ açısından hesaplanması:\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{10.25}}\right)
- Cosθ hesaplanması:
Sonuç:
\theta \approx 140.8^\circ
Temel Kavram:
Skaler Çarpım ve Vektörlerin Bileşenleri
Temel Kavram Açıklaması:
Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı sonucu skaler bir değer elde edilir ve iki vektör arasındaki açı bulunabilir. Dolayısıyla, verilen vektörlerin bileşenlerinden bu açı hesaplanabilir.
Cevap özeti:
\boxed{θ \approx 140.8^\circ}