Aşağıdaki Şekil 1’de, bir lazer ışık gösterisi için zemine dik olarak ışık yayan 6 lazer ışık kaynağı görülmektedir. Lazer kaynakları, aralarında sırasıyla a, b, a, b, a birim uzaklık olacak biçimde yerleştirilmiştir.
Gösteri için en sağdaki lazer kaynağı Şekil 2’deki gibi bir miktar döndüğünde en solda oluşan dik yamuk biçimindeki bölgenin alanı en sağda oluşan üçgensel bölgenin alanının 11 katına eşit oluyor.
Buna göre, \frac{b}{a} oranı kaçtır?
A) 2,5
B) 2
C) 1,8
D) 1,5
E) 1,2
Dik Yamuk ve Üçgende Alan ile Doğrusal Eğim Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Zemine göre doğrusal bir açıyla yayılan ışının oluşturduğu yükseklikler, kaynağa olan yatay uzaklıkla doğru orantılıdır (h = x \cdot \tan\alpha). Dik üçgenin alanı S = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2}, dik yamuğun alanı ise A = \frac{h_1 + h_2}{2} \times \text{taban} bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Lazer Işınının Oluşturduğu Yüksekliklerin Tanımlanması
En sağdaki 6. lazer kaynağının zeminle yaptığı açıya \alpha diyelim (m = \tan\alpha). Lazerler arasındaki mesafeler sırasıyla a, b, a, b, a olarak verilmiştir. Her bir lazer hizasındaki ışın yüksekliği, 6. kaynağa olan yatay mesafenin m katıdır:
-
- lazerin 6. lazere uzaklığı: a \implies h_5 = a \cdot m
-
- lazerin 6. lazere uzaklığı: a + b + a + b = 2a + 2b \implies h_2 = (2a + 2b) \cdot m
-
- lazerin 6. lazere uzaklığı: 3a + 2b \implies h_1 = (3a + 2b) \cdot m
Adım 2 — En Sağdaki Üçgensel Bölgenin Alanı (S)
5. ve 6. lazerler arasında oluşan dik üçgenin tabanı a, yüksekliği h_5 = a \cdot m’dir:
S = \frac{a \cdot (a \cdot m)}{2} = \frac{1}{2} m a^2
Adım 3 — En Soldaki Dik Yamuğun Alanı (11S)
- ve 2. lazerler arasında oluşan dik yamuğun taban uzunluğu a, paralel dik kenarları ise h_1 ve h_2’dir:
\text{Alan} = \frac{h_1 + h_2}{2} \cdot a = \frac{m(3a + 2b) + m(2a + 2b)}{2} \cdot a = \frac{5a + 4b}{2} \cdot m a
Adım 4 — Alan Bağıntısının Eşitlenmesi ve Oran
Yamuğun alanı, üçgenin alanının 11 katına (11S) eşittir:
\frac{5a + 4b}{2} \cdot m a = 11 \cdot \left(\frac{1}{2} m a^2\right)
Her iki tarafı \frac{1}{2} m a ifadesine bölelim:
5a + 4b = 11a \implies 4b = 6a \implies \frac{b}{a} = \frac{6}{4} = 1,5
CEVAP: D) 1,5 \left(\frac{b}{a} = 1,5\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Doğrusal grafik ve ışın problemlerinde yamuğun orta tabanı doğrudan orta noktanın yüksekliğine eşittir. 1. ve 2. lazerlerin orta noktasının 6. lazere uzaklığı (2,5a + 2b) olduğundan, yamuğun alanı a \cdot (2,5a + 2b) \cdot m = 11 \cdot (0,5a^2 m) eşitliğiyle doğrudan tek satırda çözülebilir.