Aşağıdaki sayı doğrusunda -\frac{2}{3x} gerçek sayısının bulunduğu aralık gösterilmiştir.
A) -3 < x \leq -1
B) -3 \leq x < -1
C) -1 < x \leq 3
D) 1 \leq x < 3
E) 1 < x \leq 3
Sayı Doğrusunda Verilen Eşitsizliğe Göre x Değer Aralığının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir: a < b \iff -a > -b
- Pozitif terimlerden oluşan bir eşitsizlikte her tarafın çarpmaya göre tersi alınırsa eşitsizlik yön değiştirir: 0 < a < b \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0
- Sayı doğrusunda içi boş nokta (<) dahil olmadığını, içi dolu nokta (\leq) dahil olduğunu gösterir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayı Doğrusundaki Aralığı Eşitsizlik Olarak Yazma
Sayı doğrusu incelendiğinde -\frac{2}{3} noktasının içi boş, -\frac{2}{9} noktasının içi dolu olarak verilmiştir. Buna göre ifade eşitsizlik biçiminde yazılır:
-\frac{2}{3} < -\frac{2}{3x} \leq -\frac{2}{9}
Adım 2 — Eşitsizliği -1 ile Çarpma
Eşitsizliğin tüm tarafları -1 ile çarpılarak pozitif hale getirilir. Negatif bir sayıyla çarpıldığı için eşitsizlik yön değiştirir:
\frac{2}{3} > \frac{2}{3x} \ge \frac{2}{9} \implies \frac{2}{9} \leq \frac{2}{3x} < \frac{2}{3}
Adım 3 — İfadeleri Sadeleştirme
Tüm terimler 2 ile bölünür (veya \frac{1}{2} ile çarpılır):
\frac{1}{9} \leq \frac{1}{3x} < \frac{1}{3}
Eşitsizliğin her tarafı 3 ile çarpılarak paydadaki 3 katsayısı yok edilir:
3 \cdot \frac{1}{9} \leq 3 \cdot \frac{1}{3x} < 3 \cdot \frac{1}{3}
\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x} < 1
Adım 4 — Çarpmaya Göre Tersini Alma (x’i Bulma)
Tüm terimler pozitif olduğu için terimlerin çarpmaya göre tersi alınırken eşitsizlik tekrar yön değiştirir:
\frac{1}{1/3} \ge x > \frac{1}{1}
3 \ge x > 1 \implies 1 < x \leq 3
Bu aralık, sayı doğrusunda 1 noktası açık (içi boş) ve 3 noktası kapalı (içi dolu) olacak şekilde gösterilir. Bu da E seçeneğine karşılık gelir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (1 < x \leq 3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eşitsizliklerde Yön Değiştirme
- Tanım: Negatif sayıyla çarpma/bölme işlemlerinde veya aynı işaretli ifadelerin çarpmaya göre tersi alındığında eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
- Bu problemde: Hem eksi işaretinden kurtulurken hem de \frac{1}{x} kesrini x haline getirirken eşitsizlik yön değiştirmiştir.
2. Sayı Doğrusunda Açık ve Kapalı Aralık
- Tanım: Dahil olmayan sınırlar içi boş çember (\circ), dahil olan sınırlar içi dolu nokta (\bullet) ile gösterilir.
- Bu problemde: -\frac{2}{3} açık olduğundan 1 açık; -\frac{2}{9} kapalı olduğundan 3 kapalı olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitsizliğin Yönünü Değiştirmeyi Unutmak
- Yanlış: -\frac{2}{3} < -\frac{2}{3x} \leq -\frac{2}{9} ifadesinde eksiyle çarpıp yönü değiştirmeden \frac{2}{3} < \frac{2}{3x} \leq \frac{2}{9} yazmak.
- Doğru: Negatif sayı ile çarpıldığında küçüktür işaretleri büyüktür işaretine dönüştürülmelidir.
- Neden yanlış: Pozitif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha büyüktür, ancak negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı büyüktür.
Bu konuyu pekiştirmek için eşitsizlik sistemleri veya mutlak değerli eşitsizliklerle ilgili benzer bir pratik soru çözmemi ister misin?