Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde a, b ve c sayıları
gösterilmiştir.
Buna göre; a’, b ve 2c saylarının küçükten büyüğe
doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
<2%
So< 2c<a?
b< a? < 2c
B 2c < a? <b
Plo<b°< a
Sayı Doğrusu Üzerindeki Değerlere Göre a^2, b^3 ve 2c Sayılarının Sıralanışı
KULLANILAN FORMÜL VE EŞİTSİZLİK KURALLARI:
- Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir: x < y < 0 \implies y^2 < x^2
- 0 ile 1 arasındaki bir reel sayının pozitif kuvvetleri alındıkça değeri küçülür: 0 < x < 1 \implies 0 < x^n < 1
- Bir eşitsizlik pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirmez: x < y \implies k \cdot x < k \cdot y \quad (k > 0)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayı Doğrusundan a, b ve c Sayılarının Değer Aralıklarını Belirleme
Sayı doğrusu incelendiğinde noktaların bulunduğu aralıklar:
- a sayısı -3 ile -2 arasındadır: -3 < a < -2
- b sayısı 0 ile 1 arasındadır: 0 < b < 1
- c sayısı 1 ile 2 arasındadır: 1 < c < 2
Adım 2 — a^2 İfadesinin Aralığını Hesaplama
-3 < a < -2 eşitsizliğinde her iki taraf negatif olduğundan karesi alındığında sınırlar yer değiştirir:
(-2)^2 < a^2 < (-3)^2
4 < a^2 < 9
Adım 3 — b^3 İfadesinin Aralığını Hesaplama
0 < b < 1 eşitsizliğinde her tarafın 3. kuvveti alınır:
0^3 < b^3 < 1^3
0 < b^3 < 1
Adım 4 — 2c İfadesinin Aralığını Hesaplama
1 < c < 2 eşitsizliğinin her bir terimi +2 ile çarpılır:
1 \cdot 2 < 2c < 2 \cdot 2
2 < 2c < 4
Adım 5 — Elde Edilen Aralıkların Karşılaştırılması ve Seçenek Analizi
Bulunan aralıklar alt alta yazıldığında:
- 0 < b^3 < 1 \rightarrow (0\text{ ile }1\text{ arasında})
- 2 < 2c < 4 \rightarrow (2\text{ ile }4\text{ arasında})
- 4 < a^2 < 9 \rightarrow (4\text{ ile }9\text{ arasında})
Aralıklar birbiriyle kesişmediğinden küçükten büyüğe kesin sıralama:
b^3 < 2c < a^2
Seçeneklerin Karşılaştırılması:
A) a^2 < b^3 < 2c — Yanlış (a^2 en büyük olmalıdır).- B) b^3 < a^2 < 2c — Yanlış (2c < a^2 olmalıdır).
C) b^3 < 2c < a^2 — Doğru sıralama.- D) 2c < a^2 < b^3 — Yanlış (b^3 en küçük olmalıdır).
- E) 2c < b^3 < a^2 — Yanlış (b^3 < 2c olmalıdır).
Adım 6 — Son Doğrulama
Örnek değerler seçerek kontrol edelim:
- a = -2{,}5 \implies a^2 = (-2{,}5)^2 = 6{,}25
- b = 0{,}5 \implies b^3 = (0{,}5)^3 = 0{,}125
- c = 1{,}5 \implies 2c = 2 \cdot 1{,}5 = 3
Sıralama: 0{,}125 < 3 < 6{,}25 \implies b^3 < 2c < a^2 bağıntısı doğrulanmaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (b^3 < 2c < a^2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basit Kesirlerin Kuvvetleri
- Tanım: 0 ile 1 arasındaki pozitif basit kesirlerin kuvveti büyüdükçe değeri küçülür.
- Bu problemde: 0 < b < 1 aralığındaki b sayısının küpü (b^3) yine 0 ile 1 arasında kalarak en küçük değer olmuştur.
2. Negatif Sayıların Çift Kuvvetleri
- Tanım: Negatif sayıların çift kuvvetleri daima pozitiftir ve mutlak değeri büyük olan negatif sayının karesi daha büyük olur.
- Bu problemde: -3 < a < -2 aralığındaki a sayısının karesi 4 < a^2 < 9 aralığına düşerek en büyük değer olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
0 < b < 1 Aralığındaki Sayıların Büyüdüğünü Varsaymak
- Yanlış: b^3 > b olduğunu düşünmek.
- Doğru: 0 < b < 1 aralığında b^3 < b olur (örneğin 0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}5).
- Neden yanlış: Basit kesirler kendileriyle çarpıldıkça küçülür.
Negatif Sayının Karesini Alırken Eşitsizliğin Yönünü Değiştirmemek
- Yanlış: -3 < a < -2 \implies 9 < a^2 < 4 yazmak.
- Doğru: Sınırların kareleri alındığında küçük sınır +4, büyük sınır +9 olur (4 < a^2 < 9).
- Neden yanlış: Negatif sayılarda mutlak değer sıralaması ters olduğundan eşitsizlik sınırları yer değiştirir.
Eşitsizlikler ve üslü ifadelerle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?