Aşağıdaki renkli kartlara 3’ten 10’a kadar olan sayılar yazılacaktır.
Bu kartlardan 6 tanesi seçilerek iki gruba ayrılacaktır.
Birinci gruptaki kartlardaki sayıların çarpımı ikinci gruptaki kartlardaki sayıların çarpımının 2 katına eşit olduğuna göre gruplardan birindeki kartlarda yazan sayıların toplamı kaç olamaz?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
Asal Çarpan Analizi ve Sayı Kümeleri Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki grubun çarpımları oranı P_1 = 2 \cdot P_2 olduğundan, seçilen 6 sayının çarpımı P = P_1 \cdot P_2 = 2 \cdot P_2^2 biçiminde olmalıdır. Dolayısıyla seçilen sayıların çarpımındaki asal çarpanların kuvvetlerinden yalnızca 2’nin kuvveti tek sayı, diğer tüm asal çarpanların (3, 5, 7) kuvvetleri ise çift sayı olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Tüm Sayıların Asal Çarpanlarına Ayrılması ve Dışarıda Kalan Sayıların Tespiti
Kartlardaki sayılar 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olmak üzere toplam 8 adettir. Bu sayıların tamamının çarpımı (T):
T = 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot (2 \cdot 5) = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1
Seçilecek 6 sayının çarpımı P = 2 \cdot k^2 olacağından:
- 7^1 asal çarpanını çift kuvvete (7^0) düşürmek için 7 mutlaka seçilmeyen (dışarıda kalan) sayılardan biri olmalıdır.
- Geriye kalan 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^2 / 7 = 2 \cdot (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5)^2 ifadesinde 2 dışındaki tüm asalların üsleri çifttir. Bu nedenle seçilmeyen ikinci sayı bir tam kare olmalıdır.
- Kalan sayılar (3, 4, 5, 6, 8, 9, 10) arasındaki tam kare sayılar 4 veya 9’dur.
Adım 2 — Dışarıda Kalan Sayının 9 Olması Durumu (7 ve 9 Hariç)
Seçilen sayılar: \{3, 4, 5, 6, 8, 10\}
P = \frac{T}{7 \cdot 9} = 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \implies P_2^2 = \frac{P}{2} = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \implies P_2 = 120, \quad P_1 = 240
Çarpımı 120 olan alt kümeler ve elemanları toplamı:
- \{4, 5, 6\} \implies 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120 \longrightarrow \text{Toplam} = 4 + 5 + 6 = \mathbf{15} (A seçeneği sağlanır)
- \{3, 5, 8\} \implies 3 \cdot 5 \cdot 8 = 120 \longrightarrow \text{Toplam} = 3 + 5 + 8 = \mathbf{16} (B seçeneği sağlanır)
- \{3, 4, 10\} \implies 3 \cdot 4 \cdot 10 = 120 \longrightarrow \text{Toplam} = 3 + 4 + 10 = \mathbf{17} (C seçeneği sağlanır)
- Bu durumlarda diğer grubun toplamları sırasıyla 3+8+10=21, 4+6+10=20 ve 5+6+8=\mathbf{19} (E seçeneği sağlanır) olur.
Adım 3 — Dışarıda Kalan Sayının 4 Olması Durumu (4 ve 7 Hariç)
Seçilen sayılar: \{3, 5, 6, 8, 9, 10\}
P = \frac{T}{4 \cdot 7} = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \implies P_2^2 = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \implies P_2 = 180, \quad P_1 = 360
- Çarpımı 180 olan grup: \{3, 6, 10\} \implies \text{Toplam} = 3 + 6 + 10 = \mathbf{19}
- Diğer grup: \{5, 8, 9\} \implies \text{Toplam} = 5 + 8 + 9 = 22
Elde edilen tüm grup toplamları 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22 olup hiçbir durumda 18 toplamı elde edilemez.
CEVAP: D) 18
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir çarpımın tam kare ya da tam karenin bir katı olması istendiğinde sayıları çarpmak yerine doğrudan asal çarpan üslerinin tek/çift olma durumunu incelemek, seçilmeyen elemanları saniyeler içinde tespit etmenizi sağlar.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Kısaca Çözüm:
- Grupların çarpımları P_1 = 2 \cdot P_2 olduğundan, seçilen 6 sayının çarpımı P_1 \cdot P_2 = 2 \cdot P_2^2 formatında olmalıdır.
- Tüm sayıların (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) çarpımında tek adet bulunan 7 asal çarpanı elenmek zorundadır. Geriye kalan ifadenin 2 \cdot (\text{tam kare}) olması için dışarıda kalan diğer sayı bir tam kare (4 veya 9) olmalıdır.
- Dışarıda 7 ve 9 kalırsa: Sayılar \{3, 4, 5, 6, 8, 10\} olur. Küçük grubun çarpımı 120 çıkar.
- 4 + 5 + 6 = \mathbf{15} (A sağlanır)
- 3 + 5 + 8 = \mathbf{16} (B sağlanır)
- 3 + 4 + 10 = \mathbf{17} (C sağlanır)
- Kalan grup: 5 + 6 + 8 = \mathbf{19} (E sağlanır)
Bu dağılımların hiçbirinden 18 toplamı elde edilemez.
Doğru Cevap: D) 18