Aşağıdaki rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
-\frac{45}{44}, -\frac{39}{38}, -\frac{50}{49}
-\frac{50}{49} < -\frac{45}{44} < -\frac{39}{38}
Öğrencinin defterine yazdığı sıralama doğru mudur? Cevabınızı matematiksel olarak açıklayınız.
Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama ve Bütüne Yakınlık Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Pay ile payda arasındaki farkı eşit olan bileşik kesirlerde, pay ve paydadaki sayılar büyüdükçe kesrin değeri küçülerek 1’e yaklaşır. Negatif rasyonel sayılar sıralanırken önce pozitif gibi sıralama yapılır; ardından negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçük olacağı için eşitsizlik yön değiştirir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıların Pozitif Hallerinin Tam Sayılı Kesre Dönüştürülmesi
Verilen kesirlerin pay ile paydası arasındaki fark 1’dir. Sayıları tam sayılı kesir biçiminde yazalım:
\frac{50}{49} = 1 + \frac{1}{49}, \quad \frac{45}{44} = 1 + \frac{1}{44}, \quad \frac{39}{38} = 1 + \frac{1}{38}
Adım 2 — Pozitif Değerlerin Karşılaştırılması
Birim kesirlerde paydası büyük olan kesir daha küçük olduğundan \frac{1}{49} < \frac{1}{44} < \frac{1}{38} olur. Buradan pozitif sıralama elde edilir:
\frac{50}{49} < \frac{45}{44} < \frac{39}{38}
Adım 3 — Negatif İşaretlerin Eklenmesi ve Eşitsizliğin Yön Değiştirmesi
Eşitsizliğin her tarafı -1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:
-\frac{39}{38} < -\frac{45}{44} < -\frac{50}{49}
Öğrenci ise defterine -\frac{50}{49} < -\frac{45}{44} < -\frac{39}{38} yazarak pozitif sıralamayı tersine çevirmemiştir.
CEVAP: Öğrencinin yazdığı sıralama DOĞRU DEĞİLDİR (YANLIŞTIR). Doğru sıralama: -\frac{39}{38} < -\frac{45}{44} < -\frac{50}{49} olmalıdır.
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Negatif sayılar 0’a yaklaştıkça büyür. \frac{50}{49} sayısı 1’e en yakın (mutlak değeri en küçük) olduğu için, negatif durumda sayı doğrusunda 0’a en yakın olan -\frac{50}{49} en büyük sayıdır.