Aşağıdaki kutuların içine 3, 9, 12, 15 ve 18 dört tanesi her kutuya farklı bir say gelecek yerleştirildiğinde eşitlik

LİSE
1

Aşağıdaki kutuların içine 3, 9, 12, 15 ve 18
dört tanesi her kutuya farklı bir say gelecek
yerleştirildiğinde eşitlik sağlanmaktadır.
arindan
ilde
O+/O - /O+0
Buna göre kutulara yerleştirilmeyen sayı kaçtır?
A) 3
B) 9
c) 12
D) 15
E) 18

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 88.7 KB

2

Kutulara Sayı Yerleştirme ve Eşitlik Problemi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL VE MANTIK:]

Bu soruda köklü ifadelerde toplama işlemi ve tam kare çarpanlara ayırma mantığı kullanılmaktadır. Verilen eşitlik şu şekildedir:

\sqrt{\square} + \sqrt{\square} = \sqrt{\square + \square}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Sayıların Köklü İfadelerini Sadeleştirme
Verilen sayılar: 3, 9, 12, 15, 18. Bu sayıları kök dışına çıkabilen çarpanlarına göre düzenleyelim:

  • \sqrt{3} = \sqrt{3}
  • \sqrt{9} = 3
  • \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}
  • \sqrt{15} = \sqrt{15}
  • \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}

Adım 2 — Eşitliğin Sol Tarafını Belirleme
Köklü ifadelerde toplama yapılabilmesi için kök içlerinin aynı olması gerekir. Elimizdeki sayılardan kök içi aynı olanlar \sqrt{3} ve 2\sqrt{3}'tür (\sqrt{12}).

  • Sol taraf: \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}

Adım 3 — Eşitliğin Sağ Tarafını Doğrulama
Bulduğumuz 3\sqrt{3} ifadesini kök içine geri sokalım:

  • 3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}

Eşitliğin sağ tarafı \sqrt{\square + \square} formatındaydı. Yani kök içindeki iki sayının toplamı 27 olmalıdır.
Elimizde kalan sayılardan toplamı 27 olanları seçelim:

  • 12 + 15 = 27
  • 9 + 18 = 27

Adım 4 — Sayıları Yerleştirme
Kutulara yerleştirilecek sayılar her kutuda farklı olmalıdır.

  • Sol taraf için kullandıklarımız: 3 ve 12
  • Sağ taraf için toplamları 27 olan ve henüz kullanılmayan ikiliyi seçmeliyiz: 9 ve 18.
  • Denklem: \sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{9 + 18}
  • \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{27}
  • 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} (Eşitlik sağlandı)

Bu durumda kullanılan sayılar: 3, 12, 9 ve 18.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] Yerleştirilmeyen sayı 15’tir. Doğru seçenek D şıkkıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Köklü Sayılarda Toplama

  • [Tanım:] Kök içleri ve dereceleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır.
  • [Bu problemde:] \sqrt{3} ile 2\sqrt{3} toplanarak 3\sqrt{3} elde edilmiştir.

2. Kök İçine Alma

  • [Tanım:] Kök dışındaki bir sayı, derecesini kuvvet alarak içeri girer.
  • [Bu problemde:] 3\sqrt{3} ifadesi, 3’ün karesi alınarak \sqrt{27} olarak içeri alınmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Kök İçlerini Direkt Toplamak

  • [Yanlış:] \sqrt{3} + \sqrt{9} = \sqrt{12} olduğunu düşünmek.
  • [Doğru:] \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}. Sadece katsayılar toplanabilir.
  • [Neden yanlış:] Köklü ifadeler üslü sayı kuralına tabidir ve toplama işleminde dağılma özelliği göstermezler.

Bu tür köklü sayı problemlerinde başka bir örnek çözmemi ister misin?