Aşağıdaki kareli zeminde, karelerin içindeki üslü ifade sağa doğru hareket ettirildiğinde her bir kare için tabanı 1 azaltılıyor, sola doğru hareket ettirildiğinde her bir kare için taban 1 artırılıyor, üslü ifade yukarı doğru hareket ettirildiğinde her bir kare için üs (kuvvet) 1 artırılıyor; aşağı doğru hareket ettirildiğinde her bir kare için üs (kuvvet) 1 azaltılıyor.
Kareli zemindeki 8^3 üslü ifadesi, bulunduğu kareden kırmızı çizgi boyunca hareket ettirilerek kırmızı karenin içine getiriliyor ve bu karenin içinde A değerine eşit oluyor.
Buna göre \frac{B}{A} işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 9^4
B) 18^6
C) 36^5
D) 72^4
Kareli Zeminde Üslü İfadelerin Dönüşümü ve B/A Oranı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Sağa hareket: \text{Taban} \to \text{Taban} - 1
- Sola hareket: \text{Taban} \to \text{Taban} + 1
- Yukarı hareket: \text{Üs} \to \text{Üs} + 1
- Aşağı hareket: \text{Üs} \to \text{Üs} - 1
- Üslü ifadelerde oran ve kuvvet: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, (a^x)^y = a^{x \cdot y}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 8^3 İfadesinin Kırmızı Çizgi Boyunca Hareketi (A Değerinin Hesaplanması):
- Başlangıç: İfade 8^3 olarak başlıyor (Taban = 8, Üs = 3).
- Sağa İlerleme: Kırmızı çizgi yatayda 6 birim sağa gitmektedir.\text{Yeni Taban} = 8 - 6 = 2
- Aşağı İlerleme: Çizgi düşeyde 7 birim aşağı inmektedir.\text{Yeni Üs} = 3 - 7 = -4
- Sola İlerleme: Çizgi 2 birim sola giderek kırmızı A karesine girmektedir.\text{Son Taban} = 2 + 2 = 4
- Sonuç (A):A = 4^{-4} = (2^2)^{-4} = 2^{-8}
Adım 2 — 12^{-1} İfadesinin Mavi Çizgi Boyunca Hareketi (B Değerinin Hesaplanması):
- Başlangıç: İfade 12^{-1} olarak başlıyor (Taban = 12, Üs = -1).
- Sola İlerleme: Mavi çizgi yatayda 6 birim sola gitmektedir.\text{Yeni Taban} = 12 + 6 = 18
- Yukarı İlerleme: Çizgi düşeyde 5 birim yukarı çıkarak mavi B karesine ulaşmaktadır.\text{Son Üs} = -1 + 5 = 4
- Sonuç (B):B = 18^4
Adım 3 — \frac{B}{A} Oranının Hesaplanması:
18^4 ve A = 2^{-8} ifadelerini asal çarpanlarına ayıralım:
B = 18^4 = (2 \cdot 3^2)^4 = 2^4 \cdot 3^8
\frac{B}{A} = \frac{2^4 \cdot 3^8}{2^{-8}} = 2^{4 - (-8)} \cdot 3^8 = 2^{12} \cdot 3^8
Adım 4 — Seçeneklerin Kuvvet Biçiminde Kontrolü:
- A) 9^4: (3^2)^4 = 3^8 (Eşit değil)
- B) 18^6: (2 \cdot 3^2)^6 = 2^6 \cdot 3^{12} (Eşit değil)
- C) 36^5: (2^2 \cdot 3^2)^5 = 2^{10} \cdot 3^{10} (Eşit değil)
- D) 72^4: 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 olduğundan:72^4 = (2^3 \cdot 3^2)^4 = 2^{12} \cdot 3^8Bulduğumuz 2^{12} \cdot 3^8 değerine tam olarak eşittir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — 72⁴
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üslü Sayılarda Bölme: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.
- Üssün Üssü: Bir üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır: (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sağa giderken tabanı artırıp sola giderken azaltmak ya da yönlerin üsse değil tabana etkisini ters uygulamak.- Doğru Yaklaşım: Soruda verilen yönergeleri adım adım taban ve üs için ayrı ayrı takip etmek.
Benzer bir koordinat tabanlı üslü ifade sorusu çözerek pekiştirmek ister misin?